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 exista mi exponente r' diferente de d — r, menor qne d y primo 
	
 con ¿, de modo que se verifique la congrucncda 
	

a . a = a =1 (mod. p); 
	

esto pide que r-hr' sea un múltiplo de d ; pero r y r' son, por 
	
 hipótesis, ambos menores que d: y, por consecuencia, r-hr' menor 
	
 que 2d: luego no puede admitirse la suposición de que a' tenga un 
	

socio distinto de a'^'~'' . 
	

Los exponentes de los números socios son complementarios respecto 
	
 del exponente á que éstos pertenecen. 
	
 De aquí se sigue que: 
	

3.' El ¡producto de todos los números que pertenecen al mismo expo- 
	
 nente (mayor que 2) es congruo con la unidad. 
	

4.' Los periodos de todos los números que pertenecen al misino expo- 
	
 nente según un módulo dado, constan de los mismos términos^ aunque 
	
 en diferente orden. Pues , si a pertenece al exponente í¿ , y r es pri- 
	
 mo con ¿, pertenecerá también (84) a'' al exponento d. Los restos 
	
 de la serie de potencias (82) 
	

2 3 4 (l 
	

a , rt, a , a , a , 
	

se reproducen periódicamente de d en d\ y, como en esta serie de 
	
 potencias, prolongada suficientemente, se encontrará cualquiera de 
	
 «'', por ejemplo, rt'"', resulta que esta otra serie 
	

2í- 3í- (Ir 
	

a ., a , íi a , 
	

producirá los mismos restos, prescindiendo del orden, que la ante- 
	
 rior (63). Asi el período del número 2 que pertenece al exponente 
	
 9 (mod. 73), es: 
	

2, 4, 8, 16, 32, -9, -18, -36, 1: 
	

y de los mismos términos, aunque en orden diferente, constan los pe- 
	
 riodos de los números 37, 4 y 55, 16 y 32, que asimismo pertenecen al 
	
 exponente 9. Además son socios: 2 y 37, 4 y 55, 16 y 32. 
	

