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5/ Si en un periodo de restos correspondiente d un número cualquie- 
	
 ra (diferente de 0) prescindimos del último término 1, los equidistantes 
	
 de los extremos son socios. Pues, si establecemos que, en el caso de que 
	
 sea impar el número de términos que queden en el período, suprimido 
	
 el último, el único término del medio entonces existente sea socio de si 
	
 mismo, podemos, en general, afirmar que las formas de dos cualesquiera 
	
 de estos términos equidistantes de los extremos del periodo (restringido) 
	
 son «•' y a''~' cuyo producto es: «". «'^~ '* = <?'''= 1 (mod. ^;) (2.'). 
	
 Con mucha facilidad se demostraría después de lo dicho que: 
	

6.'' Los periodos (fuera de su último término) de dos números socios, 
	
 constan de los mismos términos, pero en orden inverso. 
	
 Y también que: 
	

7.' Si se suprime íin número cualquiera de términos sucesivos de un 
	
 periodo cualquiera, los productos de cada dos números equidistantes de los 
	
 extremos en el periodo parcial restante, son entre sí congru,entes según el 
	
 módulo d que dicho periodo se refiera. 
	

8/ Éntrelos términos del periodo de un 7m7nero a, perteneciente aun 
	
 exponente d (mod. 7;), no se hallar d nunca el término — i, cuando d 
	
 sea impar; mas, si d es par, se hallará una sola vez el término — 1 , y 
	

esteresto corresponderá precisamente d la potencia — de a, ó en gene- 
	

d 
	
 ral a la potencia nd-i ■. En efecto: si d es impar, cualquier nú- 
	
 mero par, 2 r, dejará un resto r <^d, al ser dividido por d; y de con- 
	
 siguiente, podemos darle la forma ^r^nd + r'. Admitiendo ahora 
	
 que se verifique, contra la conclusión primera, la congruencia 
	

a = — 1, y, por lo tanto, a = 1 (mod. p)'. 
	

y, poniendo por 2 r su valor, se obtienen las relaciones: 
	
 a =« =« .a=a — l(mod.j»j; 
	

y la última prueba que a no pertenece al exponente d: contra la hi- 
	
 pótesis sentada. 
	

