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Así, pues, cuando ;; — 1 coulcnga factores con exponentes a, 
	

¡3, Y que superen ala unidad, alguno de los factores, cuyo producto 
	

representa la suma de todas las raices primitivas de ^, será =0, y 
	
 también lo será el producto mismo, y, por lo tanto, dicha suma; y cuan- 
	
 do 2) — 1 contenga exclusivamente factores primos en su primera po- 
	
 tencia, la suma de todas las raices primitivas será congruente con el 
	
 producto de tantos factores = — 1, como sean los divisores «, 5, c...., 
	
 de p — 1 ; esto es, = zb I : según que el número de estos divisores 
	
 sea par ó impar. 
	

Ejemplos. Las raices primitivas de 13 son 2, 6, 7, 11, cuya su- 
	
 ma=26 = 0(mod. 13); y 13-1 = 12 = 2^3. 
	

Las raices primitivas de 11 son 2, 6, 7, 8, cuya suma = 23 = 4- 1 
	
 (mod. II); y 11 -1 = 10 = 2. 5. 
	

Las raices primitivas de 31 son 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24, cuya 
	
 suma =123=- 1 (mod. 31), y 31-1=30 = 2.3.5. 
	

89. — De ¡os Índices. 
	

En su lugar dijimos (85) que las p — 1 potencias sucesivas de una 
	
 raiz primitiva ^, del número primo p, 
	

o 2 3 i> — 'l „, 
	

9 =\^ g, fl , O , O \G) 
	

son todas incongruentes, y que sus restos (mod. j)) constituyen, por con- 
	
 secuencia, un sistema completo resj^ecto de este módulo. Infiérese de aquí 
	
 que cualquier número a, primo con j9, por precisión será congruente 
	

a 
	

con una, y una sola, de las potencias [G). Si designamos, pues, por g 
	
 esta potencia, la congruencia 
	

ci = (/ (mod. p) 
	

será siempre posible. El exponente a de la potencia de g, congruen- 
	
 te con «, se llama índice de este número, y la raiz primitiva, elegida, 
	
 se denomina hase. Permaneciendo constante la base, los números incon- 
	
 gruentes (mo'd. jí) tendrán sus índices correspondientes, y estos índices 
	

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