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 de la cual se deduce esta otra: 
	

f'' — f ==f' p + n2)\ ó la congruencia f^ = f-\-f'í) (mod. 7; j. 
	

Poniendo en lugar de f su congruente (f , y restando después de 
	
 esta última congruencia, así modificada, la expresión abreviada, escrita 
	
 arriba, de las raices primitivas congruentes con la raiz /, obtendre- 
	
 mos la que sigue: 
	

g^' -(j=p{f -x) (mod.iJ^): 
	

la cual patentiza que sólo podrá ser g^' ~ (J divisible por p cuando 
	
 f — X sea divisible por j;, en cuyo supuesto también se verificará la 
	

congruencia, g ^g''=f'' (mod. p ) . Fuera de esta excepción, g^' — g, 
	

6 bien g — 1, no será divisil)le por 7;"; y g, por lo tanto, como 
	
 demostramos há poco, representará entonces una raiz primitiva de cual- 
	
 quier potencia de p. 
	

Habiendo ya explicado cómo se hallan las raices primitivas de una 
	
 potencia superior de p, conocidas las de su primera potencia, para sa- 
	
 ber ahora cuántas" son, basta recordar que el número de las raices / 
	
 distintas, de p, es w{p — l); y, como cada una de estas produce 
	

(2) — 1) raices g, incongruentes (mod.j'J j, resulta que: 
	

Todas las raices primitivas de potencias superiores á la primera de 
	

un número primo impar ^ p, constituyen los individuos comprendidos en 
	

las (j9 — l)c)Q;— 1) clases distintas de números incongruentes respecto 
	

2 
	
 del módulo p . 
	

Ejemplo. Las raices primitivas del módulo 7 son 3 y 5: todos 
	

los números comprendidos en las dos series abreviadas 
	

3 + 7 a; y 5-f-7a;, 
	

en las cuales puede recibir x todos los valores sucesivos desde 1 hasta 
	
 G, serán también raices primitivas de potencias superiores de 7, á ex- 
	
 cepción de aquellos que sean congruentes (mod. 7") con 31 ó 19, por ser 
	

3 ' = 3 1 (mod .49) y 5 ' = 1 9 ;mod . 49) . 
	

