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 h.- — El caso en que el módulo sea el duplo de una polencia cualquie- 
	
 ra de un número primo impar, se refiere al anterior mediante la propo- 
	
 sicion siguiente: 
	

Toda o-aiz primitiva de una potencia , p , de un número primo impar 
	
 p, lo es también del dtqilo, 2p'\ de dicha potencia, y reciprocamente; y 
	
 toda raiz primitiva, par, de p\ más ó menos este módulo, da un resul- 
	
 tado que es raiz jM'imitiva también de '2p" . 
	

Designemos por x primeramente un número impar, y por d el ex- 
	
 ponente á que pertenece x respecto del módulo p ' . Por hipótesis 
	
 tendremos: 
	

y, por ser x impar, 
	

X = I (mod. p^ 
	

X = i iinod. 2): 
	

j, de consiguiente (6i-G.°) 
	

x'' = 1 (mod. 2p'^) . 
	

Si hiciéramos la suposición de que otro exponenle d' < d verificara 
	
 la congruencia 
	

(C — 1 (mod. 2j)'^¡ , 
	
 como de ésta se deduce la siguiente 
	

x'' = 1 mod. p'i, 
	

se concluiria , contra la hipótesis, que no pertenecía x al exponente d: 
	
 luego efectivamente pertenece x al exponente d según el módulo 
	

2p^\ Si admitimQS ahora que sea x par, y d el exponente á que per- 
	
 tenece respecto del módulo p \ de la congruencia evidente, 
	

X dzj}^ = X (mod. p ''). 
	

