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 cuyo grado 3 es un divisor de 30, si sustituimos por x el sistema com- 
	
 pleto de restos (mod. 31) 
	

1, 2, 3, 4, 30, 
	

solamente encontraremos 30:3=10 que den restos diferentes; de 
	
 modo que los 30 restos de 31 pueden distribuirse en 10 clases, cada una 
	
 de las cuales comprenderá 3 números que darán igual resto. Así suce- 
	
 de en efecto: los 10 valores incongruentes que puede recibir D son los 
	
 siguientes: 
	

1, 2, 4, 8, 15, 16, 23, 27, 29, 30". 
	

Dan el resto 1 los tres valores de íc, 1 , 5, 25; el resto 2, los valores 
	
 4, 7, 20; el 4, los valores 16, 18, 28; los valores 2, 10, 19 el 8; 17, 22, 
	
 23 el 15; 8, 9, 14 el 16; 12, 21 29 el 23; 3, 13, 15 el 27; 11, 24, 27 el 
	
 29; y por último, los valores de x, 6, 26, 30, el resto 30 = — 1. 
	

Será en vano buscar para x valores cuyas terceras potencias diesen 
	
 los restos 3, 5, 6, 1, 9, 10 etc. imod. 31). 
	

100. — Modo de Jiallar directamente las raices. 
	

Réstanos todavía, para dar por terminada la cuestión que venimos 
	
 estudiando, explicar cómo se halla directamente un valor de la expre- 
	

sion \/ I). 
	

Para esto conviene recordar precisamente que, tanto al hablar de los 
	
 exponentes á que pertenecen los números, como después del número de 
	
 las raices de una congruencia, hemos indicado que tales exponentes y 
	
 el grado de esta congruencia se suponían divisores del módulo menos la 
	
 unidad. De aquí se colige que debemos enseñar ante todo cómo se re- 
	

íi . 
	

ducen, sí es posible, todas las expresiones \/ D (mod. j»), á otras equi- 
	
 valentes en las cuales sea n divisor de p — 1 . 
	

Fácil es encontrar la reducción que deseamos. En efecto, sea x un 
	
 valor cualquiera que satisface á la congruencia 
	

a;" = i^ (mod. j??\ 
	

