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Ahora bien, si suponemos que los números socios en D son dife- 
	
 rentes, en cuyo caso la última congruencia es imposible, y por lo tanto, 
	
 D es no-resto (mod. jo), como para ser idénticas dos parejas de números 
	
 socios basta que contengan uno solo común, los términos del sistema de 
	

restos (1) podrán distribuirse en -—{p — ^) pares de socios en Z>, y 
	

su producto, por consecuencia, será: 
	

'ii — \ 
	

1. 2. 3 {p-V)~D ^ {moá.p). (3) 
	

Si admitimos, por el contrario, que la congruencia (2) sea posible, 
	
 y p represente un individuo del sistema (I) que la satisfaga, existirá 
	
 otro también o- con la misma propiedad que el primero p. En efecto, 
	
 olvidémonos de que la congruencia (2) admite dos raices: de la con- 
	
 gruencia basada en la existencia hipotética del número o-, 
	

2 2 
	

O- = p (mod. jo), 
	
 se deduce que la diferencia 
	

tiene que ser divisible por js; y, de consiguiente, como p y o- son 
	
 distintos y ambos menores que p, que o- + p tiene que ser divisible 
	
 por jí), para lo cual, dadas las condiciones de p y a, es indispensa- 
	
 J)le que <j-í-C)=p. De esta igualdad se desprende que a-=j9 — p; y, 
	

2 2 2 2 
	

puesto que {p — p) =p — 2j!>p + p =p = i> (mod. js), resulta efec- 
	
 tivamente probada la realidad, supuesta al principio, del número o-, y 
	
 que éste vale j» — p. Separando, por un momento, esta pareja p y 
	

2 
	

p — p,. cuyo producto es ^ {p — p) = — p = — D, de los (j?; — 1) nú- 
	
 meros del sistema (1), los {p — 3) restantes pueden distribuirse en 
	

— {p — 3) parejas de socios, diferentes; y el producto de estas parejas 
	

de socios, diferentes, por el de la separada antes, esto es, el producto de 
	
 lodos los números del sistema (I), será por fin: 
	

1. 2. 3 {p—l) = —D ' (mod.;;). (4) 
	

