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lodos los demás casos. Omitiendo los dos primeros, ^-=1, y ¿ = 2, 
	

para los cuales es «r = I , este número o- puede distribuirse en — o- 
	

pares de raices, tales como p y — p, las cuales son incongruas ó di- 
	
 ferentes entre sí (mod. /i,-), por ser p primo con k^ y, de consiguien- 
	
 te, su diferencia 2 p no divisible por k. El producto de este par de 
	

raices , p X (— p) = — p " , es = — 1 ; y, por consecuencia, según 
	
 que (7 contenga, ó no, un niimero par de estas parejas, esto es, según 
	
 que 3- sea, ó no, divisible por 4, asi el producto de todas las cr raices 
	
 de la congruencia (1) será =4-1 ó = — 1; y, en general, será 
	

— (~~ ^)'^5 ^i V- representa el número de las parejas mencionadas, p y 
	

— p. Pero estas o- raices se encuentran entre los cp (¿) números pri- 
	
 mos con k é inferiores á este número ; y quitándolas de ellos, los 
	
 restantes cp (A) — ff, si quedan, pueden también agruparse en parejas (*) 
	
 de socios (r , s) (88) cuyo producto ?' 5 = 1 , según sabemos , y los 
	
 cuales son también diferentes entre sí; pues, si fuesen congruentes, 
	

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s = r, tendríamos r =1, y sería r, por lo tanto, una de las o- rai- 
	
 ces de la congruencia (1). Luego el producto de todos los » (k) núme- 
	
 ros inferiores y primos con k es =4-1 ó= — 1, según que o- sea, 
	
 ó no, divisible por 4; ó bien, según que ¡j. sea par ó impar; y, por 
	
 consecuencia: 
	

Si P representa el producto de los tp (/¿) números primos con k é 
	
 inferiores á este número^ se verificará ¡a congruencia 
	

/* = q= I (mod. k): 
	
 á saber: 
	

P~ — \ (mod. k), 
	

siempre que sea k — una potencia cualquiera de un número 2)7'imo 
	
 imjmr, el duplo de tal potencia, d =4; y 
	

P = -h\ (mod. k) 
	

en iodos los demás casos. 
	

(') El número 'i (A) es siempre par, excepto en los casos k — l, A = 2 (55). 
	

