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 y, seguu el teorema de Fermat, 
	

1 = (-1) - (mod.jo); 
	

para lo cual es necesario que p sea de la forma 4«+ 1; y, por con- 
	
 secuencia, — 1 es no-resto cuadrático de los números primos de la 
	
 forma 4 ?i + 3. 
	

Recíprocamente, si j!? es de la forma 4 w -f- I , el ijinomio de Fer- 
	
 mat, x^ — 1 , es divisible algebraicamente por x — \ — \x" + l) 
	
 \x — ij, y, por lo tanto, por x + \: luego será 
	

x' '-l = ú'+l)'}W, 
	

donde ¿ {x) representa un polinomio con coeficientes enteros; de cuya 
	

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igualdad (80) se deduce que la congruencia ír~=— i, ó mejor el 
	

binomio x + 1 será congruente con cero para dos valores incon- 
	
 gruentes de x; y, de consiguiente que el número — i es resto cua- 
	
 drático de todos los números primos de la forma 4íí+ I. 
	

Este resultado se obtiene también muy fácilmente, supuesto el teo- 
	
 rema de Wilson. En efecto, éntrelos números 1, 2, 3, Q; — 1), 
	

sabemos que existen -^ (j» — 1) restos, y otros tantos no-restos de p; 
	

y, por consecuencia, el número de los no-restos de p será par, ó impar, 
	
 según que diclio módulo sea de la forma 4 ?n- 1 , ó de la forma 
	
 4?i-)-3; siendo así, en el primer caso, resto, y en el segundo, no-resto 
	

de J9, el producto i. 2. 3 (f^— ') de los restos de j) ; 
	

mas este producto, según el teorema mencionado, es siempre = — 1; 
	
 luego — 1 será también resto de ^ = 4 M -t- I , y no-resto de ^ = 
	
 4?i-f-3. 
	

Infiérese además de lo anterior que, si r es resto de un número 
	
 primo de la forma 4?i+l, será también — r resto de este número; 
	
 y todos los no-1'estos del mismo permanecerán no-restos aunque cambien 
	

