﻿281 
	
 fuese 2 resto cuadrático, tendría la forma 8 ?¿ + 3, ui la forma 8n-hh; 
	
 y, si probáramos, en general, que esta inducción es cierta, podríamos 
	
 afirmar que no existe ningún número primo de las formas Sn-+-3 y 
	
 8ít + 5, cuyo resto cuadrático sea 2. Supongamos para esto que, pa- 
	
 sado cierto límite, existan números de las formas 8wzb3, de los cua- 
	
 les sea 2 resto cuadrático; y designemos por p el mínimo de todos 
	
 ellos; de manera que p será de una de las formas Sn-hS ú 8?i-f-5, 
	
 y el número 2 resto cuadrático de ju, pero no-resto de todos los núme- 
	
 ros, menores que j5, cuyas formas sean también 8?j + 3 ú 8íí + 5. 
	
 Siendo 2 resto de p^ la congruencia 
	

2 
	

X =2 (mod. j!>), 
	

será posible y admitirá, como sabemos, dos raices, a y a' = p — a^ 
	
 cuya suma es p, ambas menores que jí, por consecuencia, y par la 
	
 una, é impar la otra. Sea, pues, a la raiz impar y menor que p, que 
	
 verifica la congruencia 
	

(l^=2{moá.p), (1) 
	

Escribiendo esta congruencia en forma de ecuación tendremos: 
	

a^-2 = pf; (2) 
	

de la cual, como a es impar, y a , por lo tanto, de la forma 8?i+ 1, 
	

2 
	

se desprende que el producto pf=(t — 2 es de la forma 8n — 1; y 
	
 para que este producto sea de la forma expresada, 8n — 1, siendo uno 
	
 de sus factores p, que tiene las formas 8 w dr 3, es necesario que el 
	
 otro factor / sea de las formas respectivamente 8 » ::f: 3. Por conse- 
	
 cuencia, todos los factores primos que puede contener/, afectarán, res- 
	
 pecto del módulo 8, exclusivamente las cuatro formas 8n±3, 8?i±:l; 
	
 y, puesto que el producto de los números de las dos últimas es también 
	
 de estas mismas formas, 8 Ji ±: I , sigúese que el número / por preci- 
	
 sión ba de contener un factor primo p', aunque él lo sea, de una de 
	
 las dos primeras 8n±3. Pero de la igualdad (2) se deduce que la 
	

