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 congruencia (I) se verifica también para el módulo /, y, de cousiguien 
	
 te, para el divisor p de este módulo, esto es: 
	

« =2 (mod. j!>'); 
	

y, como jo' es menor que j», resulta, contra la hipótesis en el princi- 
	
 pio admitida, que p no es el minhno número de las formas 8?i±3, 
	
 del cual sea 2 resto cuadrático: luego tal hipótesis debe desecharse, y 
	
 establecerse en general: 
	

(y)^ 
	

I , cuando j9 = 8 ?¿ ± 3. 
	

Para demostrar ahora que el número 2 es resto cuadrálico de todos 
	
 los números de la forma 8 ?i -t- 7 = 8 /í — 1 , como 2 = — 1 X — 2, y 
	

— 1 es no-resto de la forma An — 1, equivalente á la anterior, bas- 
	
 taría demostrar que — 2 es no-resto también de esta misma forma; 
	
 pues el producto de dos no-restos (104) es un resto. Pero vamos á tratar 
	
 la cuestión más ampliamente, probando á un tiempo que el número 
	

— 2 es no-resto de los números primos, contenidos en las dos formas 
	
 8w-f-5 y 8;i-f-7, aunque ^lara los de la primera 8?n- 5 = 4 7i -f- 1 , 
	
 de los cuales es — 1 resto, ya queda más arriba demostrado. 
	

Desde luego vemos que la ley enunciada es cierta para el número 
	
 5, mínimo de los contenidos en una de las dos formas propuestas; pero 
	
 supongamos que no sea cierta, en general, y que p represente e\ pri- 
	
 mero de los números de dichas formas, contando de menor á mayor, para 
	
 el cual sea — 2 resto cuadrático. Entonces, tomando, como antes, la 
	
 raiz (Z, impar y menor que p^ de la congruencia 
	

2 
	

« = — 2 (mod. p), 
	
 el número /, contenido en la igualdad consiguiente, 
	

a^-h2^pf, 
	

2 
	

será también aquí positivo, impar y menor que p; a será de la forma 
	
 8 w -í- 1 , y, por consecuencia, « -^ 2, ó pf^ de la forma 8 ?i -í- 3; y 
	

