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 para esto es necesario que, si p tiene la forma 8?i4-5, tenga / la 
	
 forma 8íH-7; y, si ju es de la forma 8» + 7, sea /déla 8?n-5. 
	
 Ahora bien^, como un producto de factores exclusivamente de la forma 
	
 8 ?i + 1 , ó de la 8 ?i 4- 3, es siempre de la primera ó de la segunda de 
	
 estas formas también , y no puede afectar jamás las formas 8 ?i + 5 ni 
	
 8?i + 7, resulta que el número /, que tiene una de estas últimas, 
	
 necesariamente habrá de contener algún faclor primo, p\ de alguna de 
	
 ellas, el cual verificará la congruencia 
	

2 
	

a; = — 2 (mod. f): 
	

de donde se concluye que — 2 es resto también del número p <2^! y> 
	
 por consecuencia, que la suposición que hicimos de ser p el mínimo, 
	
 para el cual dejaba de ser — 2 no-resto y se convertía en resto, es 
	
 inadmisible, pudiéndose establecer en general la ecuación: 
	

(fh- 
	

1 , mando j) — 8n + b ú 8 » + 7 ; 
	

y, teniendo en cuenta que — i es resto de 8n -h 5, y no-rcslo de 
	
 8 ?i + 7, estas otras: 
	

2 . 
	

= — 1 , cuando jy = 8 « + 5. 
	

(7) 
	

+ 1 , cuando p = 8n-hl. 
	

Nos falta considerar todavía la forma 8?i-f- 1, ó lo que es igual, 
	
 demostrar que el número 2 es resto de los números primos de esta for- 
	
 ma. El método inductivo en los casos anteriores empleado no es aplica- 
	
 ble en éste; pero muy sencillamente puede suplirse como sigue: 
	

Siendo p de la forma 8 ?i + I , el binomio de Fermal 
	

i'-i , 
	
 X — 1, 
	

