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se verificaba siempre que fuese p uu número positivo, primo é impar, 
	
 y q otro número impar cualquiera, pero no divisible por p. Si supo- 
	
 nemos ahora que q posea las mismas propiedades que atribuimos á 7?, 
	
 también será cierta, según lo dicho arriba, esta otra: 
	

(f) 
	

(-1)^^' 
	

y de ambas se deduce la siguiente: 
	

(f)(f)^ 
	

(-l)^^-^=(-l) -' "' 
	

que representa la ley de reciphocidad. Esta expresión manifiesta que 
	

los dos símbolos ( — I v (-^1 tendrán igual valor, si uno, por lo mé- 
	

\ 1 I "^ \P 1 
	
 nos, de los números j) y q, es de la forma 4;í+ 1 (en cuyo caso el 
	
 exponente de ( — 1) es par, y la potencia = + 1); y valores opues- 
	
 tos, cuando los dos números p y q sean de la forma 4 íí + 3 (pues 
	
 entonces el expouente de (—1) es impar). 
	

Esta ley, en lenguaje vulgar, dice así: 
	

Si p y q representan dos números positivos, primos é impares, y zmo 
	
 de ellos, por lo menos, es de la forma 4^+1, q será resto ó no-resto de 
	
 p, segim qne p sea resto ó no-resto de q: pero, si los dos tienen la 
	
 forma An + Z, q será resto ó no-resto de p, segim que p sea no-^-esto 
	
 ó resto de q. 
	

Atendiendo á su naturaleza dio Legendre á esta ley el nombre que 
	
 lleva; Gauss, que publico de la misma seis demostraciones (*), la llamó 
	
 Teorema fundamental, porque comprende ella sola, según dice él mismo, 
	
 casi toda la teoría délos restos cuadráticos; Lejeunc-BiricMet (**) sim- 
	
 plificó y mejoró algunas de ellas; así como también CaucJiy, Jacobi, 
	
 Eisenstein, Lehesgue, Á'ronecJter y oíros ilustres matemáticos han consa- 
	
 grado sus estudios á este teorema importantísimo; pero por muy apre- 
	
 ciables que sean estos trabajos, es preciso que corran la suerte de otros 
	
 muchos, dado el carácter de nuestro libro. 
	

(•) Gauss, ü. A. §§. 125, 145.— Id., §. 262.— Werke, B. II, pág. 1 á 55. 
	
 (■•) Zalilen-Theorie, 42-51. 
	

