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 Cada par (jj, y) de los mencionados números se llama ima coiislruc- 
	
 cion del m'imero m por la forma (a, b, c); y es evidente que, en gene- 
	
 ral, linln-á para un mismo número diferentes construcciones. Entre to- 
	
 das ellas, sin embargo, sólo tenemos precisión de considerar las propias: 
	
 esto es, aquellas construcciones {x, y), en las cuales los números cons- 
	
 tructores^ X h y, sean primos relativos. Porque, si no lo fueran, y o 
	
 significase entonces su máximo común divisor, el número m liabria de 
	

ser necesariamente divisible por o". Estableciendo ahora las igualda- 
	

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des consiguientes x = x'o, y ^y'l, m = ni o , es evidente que la for- 
	
 ma (a,b,c) representará el número ?«', si los números constructores 
	
 son x', y'; y, como estos números, primos entre sí, forman una cons- 
	
 trucción propia, de la cual pueden fácilmente deducirse todas las im- 
	
 propias, es inútil tratar de las últimas. 
	

Hecha esta exclusión , estudiemos las condiciones necesarias y sufi- 
	
 cientes para que un número dado m, pueda ser construido ó represen- 
	
 tado por una forma dada («, b. c). 
	

a-) Admitamos que el número m sea representado propiamente por 
	

la forma {a,b,c), cuya determinanle es D — b ~ac. Siendo propia 
	
 la construcción (1) del número «i, los números constructores (x^y.) 
	
 serán primos entre sí; y existirán, por consecuencia, (71), infinitos pa- 
	
 res de números (t,. c), que satisfagan á la ecuación 
	

xr,-yl=+l (2). 
	

Pero esta ecuación es la determinante de la sustitución propia 
	

(' I que contiene un par cualquiera (r,, ?) de los infinitos, menciona- 
	

dos, y por la cual se convierte la forma («, 5, c) en otra equivalen- 
	
 te (137-rt); y, por consecuencia, con la misma determinante D. Efec- 
	
 tuando realmente tal sustitución, se encuentra que el primer coeficiente 
	
 de la trasformada, teniendo en cuenta la ecuación (1), es el mismo 
	
 número construido m; y que el coeficiente medio es: 
	

n — {ax -h b y) 1 + {bx + cy)-f, (3). 
	

En cuanlo al tercero 1. se deduce sencillamente, como m no pue- 
	

