﻿413 
	

rán todas las soluciones de la ecuación (2); y recíprocamente : á cada 
	
 valor de v corresponderán dos números (?', -/i'), que satisfarán á dicha 
	
 ecuación; y ésto sucederá aun cuando uno de los dos números (a;, y), sea 
	
 igual á cero, y el otro, por consecuencia, igual á rb 1. 
	

Sustituyendo los valores anteriores de i,' y -n en el de n\ y te- 
	
 niendo presentes las ecuaciones (1) y (3), se obtiene el resultado: 
	

n' = n -hí)iv ó bien %' = n (mod. m): 
	

del cual se iufiere que todas las raices n de la congruencia (4), dedu- 
	
 cidas, del modo que hemos explicado, de una construcción propia, dada 
	
 (a;, y), del número m por la forma («, 5, c), constituyen los individuos 
	
 de una clase entera de números congruentes (mod. m), y representan, 
	
 por lo tanto, una sola raiz. Y es evidente además que cada uno de 
	
 los individuos de dicha clase aparecerá una sola vez cuando v reciba 
	
 lodos sus valores posibles, esto es: cuando empleemos sucesivamente 
	
 todas las soluciones (-^i, í) de la ecuación (2). Así se dice, por conse- 
	
 cuencia, que la construcción (íc, y) del número m, pertenece á la raiz 
	
 mencionada ?¿ (mod. »i) ; pues, mediante el anterior procedimiento, 
	
 sólo esta raiz n, y no otra alguna, podemos obtener. 
	

Nótase al mismo tiempo que la forma {a^b^c), mediante todas las 
	

sustituciones I ' ^ ) cuyos coeficientes, primero y tercero, son los nú- 
	

meros constructores (x, y), se convertirá en infinitas formas equiva- 
	
 lentes (m, n, 1) que tendrán todas ellas por primer coeficiente el nú- 
	
 mero construido »j, y por segundos sucesivamente cada uno de los in- 
	
 dividuos de una clase entera (mod. m). 
	

h'-) Esta clase de números n (mod. m) puede inmediatamente de- 
	
 ducirse de la construcción dada {x, y) sin recurrir á los números ('/i, i). 
	
 En efecto, resolviendo las ecuaciones (2) y (3), ambas de primer grado 
	
 respecto de "n y ?, se obtienen las siguientes: 
	

m-i]^ (ix-h {b -hii) y, — mi = [h — n) X -h c y 
	

y de éstas, las congruencias: 
	

— yn^Lax-\-hy^ xn=hx-\-cy (mod. m) 
	

que determinan completamente la clase n (mod. m). 
	

