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 Convioiip demostrar aquí también ülra proposición que halirá de 
	
 servirnos en lo sucesivo, á saber: siempre que existan dos números (.t, y) 
	
 qve satisfagan á las condiciones 
	

ax~ -h2 bx ij -T- c?/ ~ tu 
	
 ax-h {b + n)'i/ = O, [b — tí)x -h cy = (mocl. m), 
	

en las cuales on, n, a, b, c representan números conocidos, siendo siem- 
	
 pre m diferente de cero, Ja forma {a,b,c) será equivalente día {vi, n, I). 
	
 Pues igualando á m-r\ j — mi respectivamente los primeros miem- 
	
 bros de las anteriores congruencias, multiplicando las igualdades re- 
	
 sultantes por a; é y, y sumando después, se obtiene esta otra: 
	
 m {x:r¡ — yO =**j }') por consecuencia, la determinante xr^ — y;=-f-l, 
	

de la sustitución | ' ^), por la cual se verifica realmente la trasforma- 
	

cion de la forma («, 5, c) en la (m, w, 1). Se desprende asimismo de lo 
	
 dicho que, por el contrario, cuando las dos formas {a, b, c) y {m, «, /) 
	
 sean equivalentes, existirán siempre dos números {x, y] que verifica- 
	
 rán las condiciones expresadas. De donde resulta que la existencia de 
	
 los dos números (¡r, y) caracteriza por completo de equivalentes á las 
	
 dos formas mencionadas. 
	

C-) Ya poseemos los antecedentes necesarios para demostrar que el 
	
 problema de hallar todas las construcciones propias de un número dado 
	
 ni, por una forma dada [a, 5, c). se reduce á los dos fundamentales en 
	
 la teoría de la equivalencia, al comenzar este capítulo expresados. 
	

En efecto: el primero é indispensable requisito, según consta en di- 
	
 chos antecedentes, para que una forma {a, b,c), con la determinante B, 
	
 pueda representar un número m, es que tal determinante D, sea resto 
	
 cuadrático de este número; pues, si esta condición no se cumple, no 
	
 existe ninguna construcción propia del número m por la forma {a,b,c). 
	
 Admitamos, pues, que D es resto cuadrático de í«, ó lo que es igual, 
	
 que se verifica la congruencia (4), y determinemos todas sus raices in- 
	
 congruentes (109). Representando n una de estas raices, en cuyo caso 
	

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n =D{moá.m) ó bien n —I) = ml, será {m, n, 1) una forma de- 
	
 terminada, con la determinante D. Ahora bien, siemi^re que exista una 
	

