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 ahora si componiendo, como hemos dicho, cada una de his suslilucio- 
	
 ues T con la dada Z, se encuentran efectivamente todas las sustitu- 
	
 ciones 5, y además una sola vez cada una de ellas. Para esto designe- 
	
 mos por L' la sustitución inversa de la Z; mediante esta sustitución 
	
 inversa Z', se convertirá á su vez (137-«) la segunda forma '\ en la 
	
 primera tp; y, si componemos todas las sustituciones 5 con la inversa 
	
 Z', las resultantes ¿'Z' trasformarán la forma primera o ensimis- 
	
 ma, y corresponderán, por lo tanto, á las que por T designamos. Es- 
	
 cribiendo la igualdad consiguiente S L' — T, y recordando que la sus- 
	
 titución compuesta de las dos inversas es Z Z' = j ' ) cuya determi- 
	

nante es 1, resultan estas otras: S L' L =^ S = T L: las cuales de- 
	
 muestran que por el método de composición antes expresado se obtienen 
	
 efectivamente las sustituciones S. Y que por dicho procedimiento se 
	
 halla cada una de estas sustituciones S, una sola vez, se prueba senci- 
	
 llamente. En efecto, de la igualdad T L = 5 se deduce ha T = S L\ 
	
 y, por consecuencia, que la sustitución 2\ por la cual se obtiene una 
	
 sustitución 5, determinada, es también completamente determinada; 
	
 es decir: que á sustituciones y, diferentes, corresponden sustituciones 
	
 S, también diferentes: luego, del modo ya repetido, cada una de las sus- 
	
 tituciones S, se obtendrá una sola vez. 
	

Ahora bien, sabido que coincide el conjunto de todas las sustitucio- 
	
 nes 5, que buscamos, con el de todas las sustituciones T L, com- 
	
 puestas de la conocida Z, y de las T^ aún desconocidas, sólo nece- 
	
 sitaremos buscar estas T, para encontrar aquellas 5'; y así el proble- 
	
 ma en un principio enunciado queda reducido al siguiente: 
	

Encontrar todas las sustituciones por las cuales una forma torna en 
	
 si misma. 
	

Antes de proseguir conviene, para no interrumpir más tarde nues- 
	
 tros razonamientos, establecer en este punto algunas definiciones indis- 
	
 pensables. 
	

Sea (T el máximo común divisor (positivo) de los tres números 
	
 ff, 2 5, c; es claro que todos los números representados por la forma 
	
 («, 5, c) serán múltiplos de o-: por lo cual llamaremos á este número 
	
 o-, siempre que no pueda surgir duda ninguna, el divisor de la forma 
	
 (rt, h, c). Con relación á este divisor, debemos considerar dos casos: 
	

1." Que el cociente 2 5 : a 5e<?j>«í\ Entonces el divisor u debe estar 
	

n 
	

