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 VL'z de la condición a'^a", se verifique la opuesta a'>a": entonces 
	
 aplicaremos á la forma («', i', a") el mismo procedimiento que á la 
	
 propuesta {a, b, a): esto es, hallaremos la forma {a", b" , a'"), conti- 
	
 gua de la («', 1)\ a") por la derecha, en la cual se verificará de segu- 
	
 ro, como ya sahemos, la condición 2(5")^ «", y veremos si también 
	
 se cumple la otra «" ^ «'"; en cuyo caso nuestra operación estarla 
	
 terminada. Mas, si tampoco en la forma («", 5", a'") se cumpliese la 
	
 condición última, a" ^ «'", para ser reducida, la aplicaríamos el mis- 
	
 mo procedimiento que á las dos anteriores, y así continuaremos hasta 
	
 encontrar una forma, contigua de la anterior por la derecha, que sea 
	
 reducida. La cuestión ahora está en saber si tendrá fin el número de 
	
 operaciones necesarias, según el procedimiento explicado, para determi- 
	
 nar esta forma reducida; mas no es difícil desvanecer esta duda. En 
	
 efecto, para que ninguna de las formas contiguas, que por el método 
	
 explicado se van encontrando sucesivamente, fuese reducida, sería ne- 
	
 cesario que no tuviese fin la serie de los números enteros 
	

a ^ a ^ a , a , a 
	

cada uno de los cuales es menor que el anterior en una unidad por la 
	
 parte más corta; y, como esto no es posible, pues siempre es finito el 
	
 número de enteros positivos, menores que uno dado, resulta que por 
	
 precisión habremos de encontrar, del modo que se ha dicho, una forma 
	

última {a , b , a ), en la cual no sólo tendrá lugar la condición 
	

siempre cumplida, 2 [b "') ^ « " , sino también la contingente a" ^a " , 
	
 que será, por consecuencia, reducida. Y no solamente hallamos esto; 
	
 mediante las mismas operaciones que practicamos se encuentra además 
	
 una sustitución , compuesta de todas las intermedias de la forma 
	

(-:;:)■ 
	

que convierte realmente la forma dada {a, b, a') en su oqui- 
	

valente reducida («,(?,« j. 
	

Para mayor claridad resolveremos un ejemplo. Sea la forma dada 
	
 (200, 100, 51) cuya determinante es Z> = — 200. Por la congruencia 
	
 b' ~ — 100 (mod. 51), determinamos el valor de 5' = 2; y por la 
	
 igualdad consiguiente , i -(- 5' =■• 102 = — 51 5, el valor de B == — 2; 
	

