﻿tendremos, por el contrario, dos formas (a,b,a) y {a, — b,a), que 
	
 (cuando no sea 5 = 0) no serán idénticas, aunque sí equivalentes; con- 
	

/0,-l\ ^, 
	
 virtiéndose la primera en la segunda por la sustitución I I. Uesu- 
	

miendo todo lo dicho: 
	

Las dos formas («, v '"• ^) J i'^- ^^i^)^ l'*^'-^ *^ comierten respecti- 
	
 vamente, por las sustituciones. 
	

(o! + i) ^^ \\] o)' 
	

en las {a, r «, c) y («, — h,a), representan los dos únicos casos en 
	

que dos formas reducidas, no idénticas, son equivalentes. 
	

Es decir, que las formas {a, h, c) y («', b\ c") no podrán ser equi- 
	
 valentes si no fueren opuestas, y ademas amUguas, ó con sus coeficien- 
	
 tes extremos iguales. Mas, como la equivalencia de que aquí se habla es 
	
 \^ propia, y las formas opuestas son (137-«) inipjropiamente equivalentes, 
	
 parece que existe contradicciojí entre las dos afirmaciones. 
	

Deteniéndose un poco, sin embargo, á examinar las formas reduci- 
	
 das, presentadas en la conclusión anterior, como equivalentes en el sen- 
	
 tido propio, desaparece semejante duda. Las formas opuestas {a, I, c) y 
	
 {a, — b, c), sin decir más, son, en efecto, impropiamente equivalentes; 
	
 pero, si en ellas se verifica la condición a = c, serán además contiguas, 
	
 y por lo tanto propiamente equivalentes; y, si se verifica la 2b ^ a, la. 
	
 forma entonces anceps [a, b, c), será propiamente equivalente á la 
	
 (c, — b, «), la cual es contigua de la [a, — b, c); y, como las formas 
	
 contiguas son propiamente equivalentes, del mismo modo lo será la 
	
 (e, — b, a) con las {a, h, c) y [a, — b, c); y, por consecuencia, estas 
	
 dos últimas entre sí. 
	

Para saber ahora también cuándo dos formas reducidas {a. b, c) y 
	
 (a', b' , c'), no opuestas, serán impropiamente equivalentes, basta consi- 
	
 derar que así sucederá siempre que las no idénticas {a, b, c) y {a', — b',c') 
	
 lo sean propiamente, y al contrario. De donde resulta que, para ser 
	
 aquéllas impropiamente equivalentes, es necesario que sean idénticas y 
	

