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con la única excepción de «i = 1 ; pues para este número i no existen 
	
 ocho, sino cuatro construcciones distintas, á saber: 
	

(±1,0) y (0,±1) 
	

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que producen %ina sola descomposición : 1 = 1 + O . 
	

Es de advertir que de las oclio construcciones expresadas, las cuatro 
	

{x,y), (— «, — y), (—y, a;). {y, — x) 
	

pertenecen á una raiz; y las otras cuatro, 
	

(¡r, — y), {—x,y), {—y,~x), {y,x) 
	

á la raiz de signo opuesto. 
	

En el resultado general obtenido se comprende el caso particular si- 
	
 guiente: 
	

Todo número primo positivo , de la forma 4 7¿ + 1 , j/;tteí?e siempre 
	
 descomponerse de un solo modo, en dos cuadrados. 
	

Casi supérfluo será notar que estos cuadrados no deben contener 
	
 ningún factor común. 
	

Pero no lo es advertir que todo número positivo, de la forma 4/¿-f-l, 
	
 que pueda ser descompuesto de más modos, ó de ninguno, en dos cua- 
	
 drados, no será de seguro número primo. 
	
 ejemplo 1.° Sea m = 37, número primo de la forma 4/i -f- 1. La 
	

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congruencia consiguiente z = — I (mod. 37), contiene (81) las dos 
	
 raices z = ±6; eligiendo de éstas la w = 6, se obtiene la forma 
	

(37, 6, 1), que por la sustitución I r- I ^^ convierte en la redu- 
	

cida (1, O, 1); y ésta, á su vez, en aquella, por la sustitución, inversa 
	
 de la anterior, j ' j . De donde resulta la descomposición: 
	

37 = 6'-(-l''. 
	

Omitimos escribir las cuatro construcciones, pertenecientes á la raiz 
	
 6, y las otras cuatro, pertenecientes á la raiz — 6, por ser muy fácil 
	
 de hacer después de lo que antes al por menor dijimos. 
	

