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lo lanío, hallamos (146) una suslilucion j ' "I mediante la cual se tras- 
	

forma la última en la primera; jjero existe ademas (141) otra sustitu- 
	

ciou I ' I con igual efecto: luego á la raiz elegida n, pertenecen 
	

\- V' - V 
	
 dos construcciones diferentes {x, y) y (— a;, — y), del número m; 
	
 siendo, por fin, 
	

el número total de dichas construcciones. 
	

Fácilmente se concibe también que, si las dos construcciones ± (¡r, y) 
	
 pertenecen á la raiz n, las dos ±: (a;, — y) pertenecerán á la raiz —n; 
	
 y, como cada cuatro de tales construcciones producen una sola descom- 
	
 posición del número m, en un cuadrado y el duplo de otro, el conjun- 
	
 to de estas descomposiciones estará espresado por el cociente 
	

2^^^4::==2'^-'. 
	

Sólo hay que exceptuar el caso [jl = O , y, en consecuencia, 
	
 m = 1 , para el cual las dos descomposiciones que resultan , por ser 
	

-hn = —n (mod. 1), se reducen á la única: 1 = 1 +2.0. 
	

Comprendido en el problema general se halla el particular, muy in- 
	
 teresante, que corresponde al valor ¡^=1, expresado en lenguaje vulgar 
	
 como sigue: 
	

Todo número primo j), de cualquiera de las formas S k-h I ú 
	
 8 /i -f- 3, pxiede ser descompuesto sievipre y de una sola manera, en un 
	
 cuadrado y el duplo de otro. 
	

Ejemplos. 1.° Sea m = 4l: número primo de la forma 8/i+l, 
	
 para el cual es [J = 1. Las dos raices de la congruencia consiguiente 
	

z^=-2 (mod. 41) 
	

son ±11: la forma (41,11,3), por la sustitución i j , se 
	

( + 4',+3)' 
	

