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 De donde se desprende que el número total de tales construcciones, di- 
	
 ferentes, será 
	

el cual se reduce á 
	

^'■^'■.4 = 2''-' 
	

para las descomposiciones distintas de ni en un cuadrado y el (rijjlo de 
	
 otro, con la única excepción de (j- = O, y, por tanto, m= 1. 
	
 Es digno de ser mencionado el caso particular siguiente: 
	
 Todo número primo, de la forma 3 7¿+ 1, píiede ser desconpticstu 
	
 siempre y de un solo modo, en un cuadrado y el triplo de otro. 
	

Pasemos ahora á estudiar la segunda forma (2, 1,2). Los números 
	
 construidos por esta forma deben ser necesariamente pares; y, concre- 
	
 tándonos á los de la forma 2m, en la cual representa m, como antes, 
	
 un número impar, no divisible por 3, se prueba sencillamente que el 
	
 conjunto de estos números «i, es idéntico al de los considerados en el 
	
 caso anterior ; puesto que de la posibilidad de la congruencia 
	

z = — 3 (mod. m) se deduce, entonces, que también es posible esta otra: 
	
 z ~ — 3 (mod. 2 w); y recíprocamente. Designemos por n una re- 
	
 presentante de las 2*^ raices que puede admitir la última congruencia, 
	

y establezcamos la igualdad n' -f-3 = 2mZ.- la forma resultante 
	
 {2m,n', 1), de segunda especie, por ser impar su coeficiente medio n' y 
	
 par, en consecuencia, su tercero I, es equivalente de cierto á la dada 
	
 (2, 1,2); y al probar esta equivalencia bailamos seis trasformaciones 
	
 diferentes de la última forma en la primera; de las cuales se despren- 
	
 den las seis construcciones 
	

± («, ^), ± (P, ~x- y), ±{x-hy,- x), 
	

pertenecientes á la raiz determinada n ; y, cambiando en éstas los pri- 
	
 meros números constructores por los segundos, se obtienen las otras seis, 
	
 pertenecientes á la raiz de signo opuesto — oi . Si, pues, cada raiz pro- 
	
 duce seis construcciones, el número 
	

6.2'' = 3.2'^""\ 
	

