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conteudrá S''^ raices incongruentes, designando por ¡a, como repeli- 
	
 das veces lo hemos escrito, el número de los factores j», contenidos 
	
 en m. 
	

Llamando n á una representante determinada de estas raices, y lia- 
	

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ciendo n -f- 5 = m ¿, la forma resultante {tn^n,l) será por necesi- 
	
 dad equivalente á una sola de las dos formas reducidas, en un principio 
	
 expresadas; existiendo entonces dos trasformaciones de esta forma re- 
	
 ducida en la {m, «, /), y dos construcciones, por consecuencia, del nú- 
	
 mero m por dicha forma reducida, pertenecientes á la raiz elegida «. 
	
 De aquí se desprende inmediatamente que el número total de construc- 
	
 ciones del número m, por las dos formas reducidas, posibles para la 
	
 determinante dada, es 
	

Pero resta averiguar, é igual duda ocurrirá siempre en circunstancias 
	
 semejantes, por cuál de las dos formas reducidas, no equivalentes, que 
	
 ahora se nos ofrecen, se habrán de verificar las dos construcciones per- 
	
 tenecientes á la raiz n, de que, sin distinguir, hemos hablado antes. 
	
 Fácil es, sin embargo, desvanecer en el caso actual esta duda. En efec- 
	
 to, cuando el número m sea representado por la forma (i, O, 5), ten- 
	

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drenaos: m — x + 5y~, y, por tanto, m = £ (mod. 5), esto es, m 
	
 será resto cuadrático de 5; y, si al contrario, fuese m construido por 
	

la otra forma (2,1,3), tendríamos: m = 2a;~ -t- 2a;.y -f-3y , ó bien 
	

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^ m — \2 X -h y) +5y = (2a;-<-y ) (mod. 5) ; y, por consecuencia, 
	
 como 2 es no resto de 5, m seria entonces no-resto de 5. De lo cual 
	
 resulta que todas las construcciones del número m se efectuarán por 
	
 la forma (i. O, 5) exclusivamente, ó por la forma (2, 1,3), según que 
	
 m sea resto, ó no-resto, del número 5: esto es, según que sea 
	
 »j = ± 1 (mod. 5), ó «j = ± 2 (mod. 5). 
	

Inclusas en esta proposición general se hallan las particulares si- 
	
 guientes: 
	

Para todo número primo de uñada las formas 20/¿-)-l, ó 30/í-í-9, 
	
 existen cuatro construcciones por la forma (1,0,5) que producen una 
	
 sola descomposición de diclio número en u,n cuadrado y el quintuplo de 
	
 otro. 
	

