﻿48o 
	

Ibl. — CoHclusion del primer problema de las eq tiivalencias 2M>'a las 
	
 formas de determinante positiva. 
	

Hemos demostrado c[iie las raices de una forma reducida ])uedeu 
	
 desarrollarse en fracción continua:, y, apoyándonos en las propiedades 
	
 de las fracciones así determinadas, vamos ahora á resolver la cuestión 
	
 fundamental de si dos formas reducidas, con la misma determinante, 
	
 mas pertenecientes á distintos períodos, podrán ser, ó no, equivalentes: 
	
 ó bien, si dos períodos diferentes de formas reducidas, para una deter- 
	
 minante positiva i^odrán contener, ó no, formas equivalentes. Las pro- 
	
 piedades de las fracciones continuas, de las cuales depende cuanto á 
	
 renglón seguido vamos á decir, no son, sin embargo, las más conocidas 
	
 V vulgares, expuestas en los libros elementales de Algebra; sino otras 
	
 de ói'den superior, que, para evitar largas digresiones en el cuerpo de 
	
 la obra, hemos condensado al final, -en el Apéndice I. y que, si el lector 
	
 no conoce, debe imprescindiblemente tratar de comprender, antes de 
	
 pasar más adelante. Dándolas ya por sabidas, es como vamos á conti- 
	
 nuar desenvolviendo el hilo de nuestros razonamientos. 
	

Sean, pues, {a. I, c) y {A, B, C) dos formas reducidas y equiva- 
	
 lentes en sentido propio. Como todas las formas de un mismo período 
	
 son equivalentes entre sí, podemos admitir desde luego que los prime- 
	
 ros coeficientes a y A , y, en consecuencia , las primeras raices de 
	
 estas dos formas, son positivas; porque, de no ser así, de seguro se veri- 
	
 ficarla tal condición en las formas inmediatamente contiguas á las pro- 
	
 puestas. Hagamos, por abreviar, {a, h, c) = -^^^ y (A, B^ C) = «I>^^; y 
	

calculemos (i 55) para estas formas los períodos que las contienen; sus 
	
 primeras raices respectivamente w y íi . se desarrollarán en las frac- 
	
 ciones continuas regulares: 
	

w = (le . I; I 
	

II '■11 . u-> 
	

II ^11 1 2 
	

