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Los onalro coeficienles a, ¡i. y, 5, son siempre positivos: y, por olni 
	
 parte, los numeradores y los denominadores de las fracciones reducidas 
	
 van creciendo constante y necesariamente á medida que 7i crece; y 
	
 esto prueba que dos valores diferentes de 7/ producen dos sustitucio- 
	

/a, ¡3\ 
	
 nes I ^ I también diferentes. 
	

Pero debemos demostrar también la recíproca, esto es: que del modo 
	
 explicado se hallan todas las sustituciones i \, que convierten en si 
	
 misma la forma {a,I),c), y cuyos coeficientes a, ¡3, y, o, son todos ^;o- 
	
 sitivos. Para esto representemos por I ' ^| una cualquiera de estas sus- 
	
 tituciones: desde lue^o se verificarán las ecuaciones 
	

y -I- o td 
	

aS— 13- 
	

0) 
	

de la última de las cuales resulta la sip^uiente; 
	

p to" 4- (a — o) w — y = O . 
	

Esta ecuación, como de segundo grado, tiene dos raices: una (151) 
	
 de ellas, comprendida entre 1 y + oo, y la otra entre — 1, y 0: lo 
	
 cual exige que su primer miembro sea negativo para w = 1, y positi- 
	
 vo para w = — 1 , y, por consecuencia, que se verifiquen precisamen- 
	
 te las desigualdades: 
	

y-t-o>a + [Í y p + o>a-f-y. 
	

y 8 
	

Para hacer constar, como deseamos, que — v — son dos redu- 
	

, "• " '^ 
	
 cidas consecutivas de la fracción continua regular {k , k , k ), 
	

debemos ante todo dejar sentado que y ^ a y o > y; pero estas con- 
	
 diciones para los números y, a, y o, se desprenden inmediatamente 
	
 de las desigualdades arriba escritas; pues, si fuese, contra lo establecí- 
	

