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 do, o^y, conforme ;i la segunda desigualdad, debería ser a<¡í, y 
	
 también en consecuencia, a5<¡3y: resultado contradictorio de la 
	
 igualdad aS— ¡iy=i ó ao=Py+l; luego, en efecto, o>y; y, 
	
 si fuese y<a, haciendo a = y + p (siendo p entero positivo), según 
	
 lo exige la primera desigualdad deberia ser o> ¡3 + p, y. por conse- 
	
 cuencia . 
	

ao-¡3y>([3 + y)p + p'^: 
	

relación imposible por valer 1 su primer miembro, y 3, por lo menos, 
	
 su segundo, en virtud de que [3, y, p son enteros y positivos: luego 
	
 efectivamente y ^ a. 
	

Sígnese de lo dicho que no hay inconveniente en escriljir la igualdad 
	

y 
	
 -i- = [v . m f/. 7') 
	

7. ' 
	

donde los elementos y', m, 17, r. son todos positivos, y su conjunto 
	

es impar: porque está en nuestra mano resolver r en r — I + — 
	

cuando así conviniere á nuestro intento. 
	

Supongamos primeramente que a>l; como, según acabamos de 
	
 probar, y>a, y además y no es divisible por a, la fracción continua 
	
 igual á la ordinaria y : a, comprenderá, por lo menos, tres elementos. 
	
 Formemos la reducida inmediatamente anterior á la y : a, 
	

Y = (y', «», !?); 
	

de lo expuesto antes, y de las relaciones consiguientes acp— /y= i, 
	
 aS_Py=l, se deducen p=/+ap', S=tp-)-y|3', siendo ¡i' en- 
	
 tero y 2}('SÍiivo: pues, si fuera ¡3'= O, seria o = ¡p, y, como siempre 
	
 '^<y, resultaría o<y: contra lo demostrado; y, si fuese §' negativo, 
	
 o sería negativo: contra lo supuesto en un principio de ser los cuatro 
	
 números a, ¡3, y, o enteros y positivos. Luego también podemos esta- 
	
 l)lecer la igualdad 
	

4- = <t'-'* 'J-r.{i'): 
	

