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 y. por consecuencia, como antes: 
	

Y + o co , 
	

a + P (.) 
	

donde los elementos y', m, q,T, p', son enteros y positivos, y su 
	

número par. Gonclnsiou, por otra parle, que se desprende inmediata- 
	
 mente de que, según las desigualdades que nos han servido de base para 
	
 llegar á ella, los máximos enteros y' y P', contenidos en las fraccio- 
	
 nes y : a y pía, respectivamente, son positivos. 
	

Supongamos ahora que es a:=l: entonces inmediatamente: 
	

y + (Py+l)w 
	

- = (y, P, w): 
	

1 + pw 
	

resultado enteramente análogo al anterior. 
	

Concluyese de cuanto precede que siempre podremos desarrollar la 
	
 raiz cjj en una fracción continua periódica, regular, 
	

^ = {Í,'>n, í", r, P'; y', ító, ) 
	

en la cual sea par el número de los elementos y', m, q,r, P'. Y 
	

como, por un lado, los números y', m, deben coincidir respectiva- 
	
 mente con los k , k ; porque solo de un modo puede ser la raiz lo 
	

desarrollada en fracción continua; y, por otro, hemos demostrado que 
	
 todo período de los números A-, con un número par de términos, ó es 
	
 idéntico á la serie de los mismos números k correspondientes á todas 
	
 las 2 n formas, ó se compone de este mínimo período de un número 
	
 par =2m de términos, varias veces repetido, serán r=^k 
	

^ ' ^ ' 2/íH— 2? 
	

P' = ^iJm—V representando h un entero cualquiera positivo; y, por con- 
	
 secuencia : 
	

Y - 8 
	

l- = lk,k h J, -- = (k,l k ,k \ 
	

a \ o' r ■2l,„—'il' ¡i i o' 1 V„i—-2'U,i—\¡ 
	

que es lo que pretendíamos demostrar. 
	

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