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 en la cual representa n un entero positivo cualquiera , y {í , h ) una 
	

nueva solución positiva. Su primer miembro, como potencia de un que- 
	
 brado impropio, aumentará de valor al paso que se aumente el de m, é 
	

irá también creciendo, en consecuencia, i -hu \/ D; de modo que á 
	
 diferentes valores de n corresponderán diferentes soluciones {¿ , u ) ; 
	
 y, como los números t , u crecen ó menguan simultáneamente, cre- 
	
 cerán, ó menguarán, cuando lo verifique n. 
	

Mas recíprocamente: todas las soluciones positivas {(, «) pueden 
	
 deducirse de la última fórmula. En efecto, supongamos, por un momen- 
	
 to que asi no suceda, esto es: que el primer factor de una solución po- 
	
 sitiva (í, ?{), no sea exactamente igual á una potencia del primer factor 
	
 de la solución mínima {T, U)\ entonces, como los dos factores son 
	
 quebrados impropios, deberá estar el primero comprendido entre dos 
	
 potencias sucesivas , 
	

(I±Mj>y (. 
	

del segundo, siendo ii, por lo menos, =1; ó, expresándolo algebraica- 
	
 mente, deberán verificarse las desigualdades: 
	

t+%jl> t + nsjlJ t+u^^sllT T-hU\/~l) 
	
 — < < — : 
	

ó bien, teniendo presente que 
	

t +V, J D t —lí J D 
	

II, II. • )í ít ^ 
	

1. 
	

estas otras: 
	

t-hííJ D t -u s¡ D T+ UJ D 
	

1 < __ < 
	

