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El niimero de todas las construcciones de un número impar posifiro, 
	

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 cualquiera, n, por Ja forma (1 , O, 1) = a-' + y" es igual á 
	

4V(_ l)'(^^-'')=í (J/_vV): 
	

esto es: al cuadruplo de la diferencia entre el número il/, de sus diviso- 
	
 res o de la forma 4 /í + 1, 1/ el número N de sus divisores de la for- 
	
 ma 4 /¿ + 3. 
	

Aqni no existe para los números constructores 2', y. ninguna limi- 
	
 tación; cada ocho construcciones distintas (148) producen una sola des- 
	
 composición en dos cuadrados de los números m, excepto cuando uno 
	
 de los constructores sea cero; que entonces producen una descomposi- 
	
 ción cuatro construcciones solamente, y n debe asimismo ser un cua- 
	
 drado. De lo cual resulta que el número de las descomposiciones dife- 
	
 rentes será -— {M — iV-f- 1), ó -7- (ü/ — iV), según que el número 
	
 descomponendo sea un cuadrado, ó no lo sea. Asi, por ejemplo: 
	

25=oV5'"=3V4'; pues J/=3, ÍV=0; y -{lI-N+\)^'2. 
	

45=3V6^ sus divisores: 1 , 3, 9, 5, 15, 45; 3/=4, iV=2. 
	

49=oV7^ » 1,7,49; iI/=2, i\^=l. 
	

65=rV8'^=r-i-7'^: » 1,5,13,65; y¥=4, iV=0. 
	

Si n fuese un número primo, también se deduciría de lo anterior 
	
 que podria ser descompuesto en dos cuadrados de un solo modo, ó de 
	
 ninguno, según afectara la forma 4 7¿-|-], ó la 4 7¿-)-3: como ya 
	
 sabíamos (148). 
	

2.° Para la determinante positiva 2'=2 sólo existen las dos formas 
	
 reducidas equivalentes, (1, 1 , — 1) y ( — 1, 1, i), y,de consiguiente, una 
	
 sola clase, por cuya representante podremos tomar también (148) la for- 
	
 ma (1,0,-2) = /-2/. 
	

