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y^^V-y v-^^^Y- 
	

luego finalmente: 
	

y = -[0,2, 1,2,2, 1] = -[1,2,2, l]^iO. 
	

2.— Fracciones continuas. 
	

a) Sea .i; una cantidad positiva, racional ó irracional, y establez- 
	
 camos la serie de igualdades: 
	

1.1 1 , 
	

x = y + — a;,=oH , x , = vh (1) 
	

' a; J X "—1 X 
	

1 2 li 
	

en las que y, o. v, representan los máximos enteros, contenidos en 
	

a;, X X respectivamente: lodos ellos iguales, por lo menos, 
	

á 1, excepto el primero y. I^e también puede ser 0. 
	

Si la cantidad x fuese racional, alguno de los números ¡r, a;, íc, 
	

seria entero, y en él terminaría la serie (1); pues el siguiente, conforme 
	
 á la ley de su formación, llegaria á ser infinito. Para demostrar que la 
	
 serie (1) es finita, siempre que x sea racional, hagamos esta cantidad 
	
 igual al quebrado irreducible a:b. De la serie de igualdades que se 
	
 derivan del algoritmo ya demostrado (40) para hallar el máximo común 
	
 divisor m de los números a y b, resultan las siguientes: 
	

a c b ^ d I 1 
	

x=—- = y + -¡-\ ¿p, = — = 4 ; x ,= — = v+- — ; 
	

m 
	
 X = — — = m: 
	

n 1 
	

donde se ve patentemente que el cociente x es entero; y, por couse- 
	

