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donde el ivmiero de los elementos enteros y positivos, vi, n. r. es par: 
	

y los dos y', ¡3', pueden también ser nulos, ó enteros negativos. 
	

Para demostrarlo supondremos que a es positivo: lo cual no per- 
	
 judica en nada á la generalidad que requiere el asunto; puesto que, 
	
 si a fuera negativo, podríamos cambiar los signos de los cuatro ente- 
	
 ros a, ¡B, y, o; y este cambio no alterarla la dependencia establecida 
	
 entre los mismos, y entre las dos cantidades w y ü. 
	

Esto sentado, hagamos primeramente a=l. Entonces S=Py + 1 
	
 é inmediatamente: 
	

,+ ,?,+ „._.,, Q ^.,, ^^,^^p,,, 
	

'-' ( ) 
	

^-- ü 
	

Y en este caso la proposición es cierta. 
	

Supongamos ahora a>l. Desarrollemos el quebrado y: a en la 
	
 fracción continua (y',m, «, {I, i'), cuyos elementos son todos po- 
	
 sitivos, excepto el primero y', que será positivo, nulo, ó negativo, se- 
	
 gún que y sea positivo y mayor que a, positivo y menor que a, ó 
	
 finalmente, negativo; y bagamos siempre par, como podemos (c) el 
	
 número de los elementos positivos iii, ?i, r. Desde luego será (í): 
	

[t'í«^''^ y, y] _ _T_. 
	

a 
	

3', como la reducida del primer miembro es un quebrado irreducible, y 
	
 la fracción generatriz y : a es también irreducible, tendremos 
	

« = [»»,«, !?,'•] y t = [t', í», M, $", '•]• 
	

Por otra parte, como el número de los elementos y', m, m, 5', r, 
	

es impar, se verifica la ley 
	

[«^,n q] [y'.w, «, (^,r] — [m,n, q,r] [y\m,ii, y]=~-l; 
	

