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III. 
	
 Estudio de una ley geométrica. 
	

Alguna semejanza guarda con lo dicho en el artículo precedente la 
	
 proposición geométrica que vamos á demostrar ahora, y cuyo enunciado 
	
 es como sigue: 
	

« Supongamos construida sobre un plano una figura /'', limitada por 
	
 todos sus frentes, de área A; y en el mismo dos ejes rectangulares, X 
	
 é Y, y dos sistemas de recias paralelas respectivamente á cada uno de 
	
 ellos, y equidistantes todas entre si. Expresando por 5 la distancia co- 
	
 mún entre las paralelas á los dos ejes, y por T el número de cruces o 
	
 puntos de la cuadrícula formada por ellas, que se hallen dentro del 
	

contorno finito F; el producto T o", disminuyendo o indefinidamen- 
	
 te, se aproximará al límite A. » 
	

Fijémonos en el sistema de paralelas al eje I'; y, para mayor faci- 
	
 lidad, admitamos que cada una de estas rectas corta dos veces solamen- 
	
 te el contorno de la figura F. Si designamos por I la longitud del 
	
 trozo, comprendido dentro de F^ de una cualquiera de aquellas parale- 
	
 las, será Z o la expresión aproximada del área de la parte de superficie 
	
 F, limitada por dicho trozo y el de la paralela inmediata; y ya sabemos 
	
 que la suma de todos estos rectángulos Iú (digámoslo así), ó elementos 
	
 superficiales, según las leyes de las cuadraturas, se aproxima al área to- 
	
 tal, A, si o mengua indefinidamente. Representemos ahora por n el 
	
 número de puntos de la cuadrícula que estén sobre el trozo I (incluyen- 
	
 do en él, ó no, los que caigan sobre el mismo contorno de la figura); es 
	
 evidente que I se compondrá de m — 1 partes iguales á o, y de un 
	
 resto que lo más llegará á 2 o: de modo que podremos establecer la 
	
 igualdad Z = wo-f-sS, siendo e un quebrado propio, positivo ó nega- 
	
 tivo; y multiplicándola por o, escribir con razón: 
	

lo = ¿,{no -{- zo ) = 1 o -t- o >] £ o. 
	

