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IV. 
	

Algunas proposiciones de Gauss referentes á su teoría de 
	
 la división del circulo. 
	

Cualquiera que sea la raíz representada por r (126-(2)) , dice Gauss (*), 
	
 siempre se verificarán las ecuaciones: 
	

2 [^] — 2 [^] = ± \I~P, cuando p = i (mod. 4); 
	
 2 [/?] — 2 W] = ±H'P~, cuando j) = 3 (mod. 4): 
	

en las cuales R y iV expresan los restos y no-restos de j¡9, inferio- 
	
 res á este módulo; y los símbolos [/?] y [N] tienen la misma signifi- 
	
 cación que les dimos (128). Y, si k designa un número cualquiera, pri- 
	
 mo con p, también, como consecuencia de aquéllas, se verificarán es- 
	
 tas otras: 
	

B .2k- N.2kT. \±\/ P, cuando p = 1 (mod. 4) 
	

2 eos — 2 eos = 
	

^^ J^ ( O, cuando p = 3 (mod. 4) 
	

B.2k^ ^ N.2kT. ( '^' cuando ^ = 1 (mod. 4) 
	

2 sen 2 sen = ' _ 
	

^' -^^ (±: \/ p^ cuando j!) = 3 (mod. 4) 
	

Fácilmente se colige que estas sumas comprenden ciertas potencias 
	
 de las raices (122-5) de la ecuación del círculo (123) como sumandos. 
	
 Gauss ("), antes que nadie, determinó el cuadrado de la siguiente: 
	

■) D. K. §. 356. 
	

•■) Wi'rk(!. I. II. ni'ic '¿:í. 
	

