8 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



lados e as diagonaes (1, 3), (2, 4), (1, 5), (4, 7): porque lançada a dia- 

 gonal (1, 3) determina-se o vértice 2 com os lados fi, 2), (3, 2). O vér- 

 tice 4, com o lado (3, 4) e diagonal (2, 4). O vértice 5 com a diagonal 

 (1, 5) e lado (4, 5). O vértice 7 com a diagonal (4, 7) e lado (1, 7). 

 Finalmente o vértice 6 com os lados (5, 6; e (7, 6). Mas se em logar 

 da diagonal (1, 5) se desse (1, 4), haveria uma condição de menos; 

 porque os lados (1, 2), (2, 3), (3, 4) e diagonaes (1, 3) e (2, 4), de- 

 terminam a diagonal (I, 4). 



D'entre os diversos systemas de diagonaes que determinam condi- 

 ções distinctas, quando se consideram conjunctamente com os lados do 

 polygono, designaremos os seguintes: 



1.° As diagonaes tiradas do mesmo vértice. 



2.° Suppondo os vértices numerados ordenadamente seguindo o 

 perímetro do polygono, as diagonaes 



(1, 3), (3, n), (n, 4) (4, n — \), (n—i, 5)... 



sendo a ultima {—^, —k~] ou (— õ— > ~2~J conforme for n im- 

 par ou par. 



3.° As diagonaes correndo em roda em linha continua; indo do 1.° 

 vértice ao 3.°, do 3.° ao 5.°, do 5.° ao 7.° etc. ; até se chegar ao vér- 

 tice de partida, ou anterior ; e continuando o mesmo processo sobre o 

 polygono obtido por este primeiro giro, e assim successivamente, até 

 se chegar ao triangulo. 



Estes três casos fazem a decomposição dos polygonos convexos em 

 triângulos. 



4.° As diagonaes (1, 3), (2, 4), (3, 5), ... (n — 2, n — i). 



Em todos estes casos o numero de diagonaes é n—S. 



Com effeiío, nos três primeiros, notando que, por cada diagonal 

 se separa um triangulo e se diminuo d'um lado o polygono : acontecerá 

 que ao chegar ao polygono de 4 lados, haverá n — 4 triângulos en — 4 

 diagonaes; e tirando emfim a ultima diagonal ter-se-ha n — 2 triângu- 

 los e n — 3 diagonaes. 



5 Theor. Não pôde haver mais de três casos de egualdade de po- 

 lygonos convexos quando a comparação se faz entre os próprios ângu- 

 los e lados a saber: 



i.° n — 1 egualdades de ângulos e w — 2 egualdades de lados 

 ^2.° n — 2 » » n — 1 » » 



3.° n — 3 » » n » » 



