PHYSIGAS E NATURAES 9 



sendo os lados e ângulos eguaes de polygono a polygono dispostos na 

 mesma ordem. 



Demotistr. Em polygonos convexos de n lados não se pôde dar 

 mais do que n — 1 egualdades d'angu]os que sejam condições distin- 

 ctas; porque se n — 1 ângulos do 1.° são eguaes a n — 1 ângulos do 2.", 

 cada um a cada um, também os últimos ângulos de ambos os polygo- 

 nos serão eguaes entre si : e logo n egualdades d' ângulos representam 

 só n — 1 condições distinctas. Mas o numero de condições para a egual- 

 dade são ao todo 2w — 3; não ha pois mais casos de egualdade do que 

 os enunciados no theorema ; onde a serie descendente dos ângulos co- 

 meça em n — 1, e a serie ascendente dos lados acaba era n. 



Lembrando, porém, que pôde haver indeterminação na .construcção 

 de alguns vértices, logo que essa combinação se deva obter por meio 

 de ângulos (3) será preciso estudar cada um doestes casos em particular, 

 a fim de reconhecer quando é segura a egualdade, e quando o não é. 



6 Theor. Dois polygonos são eguaes quando n — 1 ângulos e 

 n — 2 lados são eguaes de parte a parte, e dispostos na mesma ordem: 

 excepto se os dois lados desconhecidos em cada um dos polygonos são 

 parallelos entre si, que ha indeterminação d'uma infinidade de polygo- 

 nos. 



Para demonstrar esta proposição basta provar que não se pôde 

 formar senão um único polygono com n — 1 ângulos e n — 1 lados. 



Ha n'este caso a distinguir duas hypotheses — a de serem contí- 

 guos ou desconíiguos os lados desconhecidos. 



1.^ hypoth. Lados desconhecidos contíguos. 



Com os lados e ângulos conhecidos, e na sua ordem respectiva, 

 forme-se a linha polygona ABCD ...F, fig. 2, e restará somente o traçar 

 os lados desconhecidos; porém como se conhecem os ângulos em F e A 

 traçaremos as linhas FX & ÃY, formando em F e A os ditos ângulos, 

 os quaes por sua intersecção determinarão o vértice G. A egualdade 

 n'esíe caso é segura. 



2.^ hypoth. Lados desconhecidos descontiguos. 



Sejam GF e BC, fig. 3, os lados desconhecidos. 



Com os lados e ângulos conhecidos, e na sua respectiva ordem, 

 forme-se a Unha polygona YFEDCX: e em outra construcção á parte, 

 forme-se com os lados e ângulos restantes a hnha polygona G'A' .. .B'; 

 e tire-se a recta G'B'. Do angulo dado AGF diminua-se o angulo A'G'B', 

 e obter-se-ha BGF. Forme-se em O (intersecção das rectas YF e XC), 

 o angulo NOF=AGF—A'G'B', e marque-se ON=G'B'; emfim tire-se 

 NB parallela a OF; e depois NG parallela a NO. Serão BC e GF os 



