i 78 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



será muito lento, por duas razões — pelo rápido decrescimento dos ter- 

 mos das fracções (B), e pelo crescimento dos termos das fracções (A). 



Se o numero dos sócios admittidos annualmente fosse continua- 

 mente augmentando, poderíamos considerar uma tal sociedade como o 

 resultado da sobreposição successiva de diversas associações em que o 

 numero das admissões fosse constante; d'essa formação resultaria, como 

 é claro, um abaixamento na taxa da amortisação n'esse período de pro- 

 gresso ascendente. 



Se as pensões, em vez de serem constantes, como suppozemos, para 

 cada sócio, crescessem á medida que o óbito se verificasse mais annos 

 depois da matricula, é evidente também, que d'esse facto procederia 

 variar para menos a grandeza da amortisação. 



Mas de qualquer maneira que essa variação tenha logar, poderemos 

 sempre determinar o valor constante que deveria ter a taxa da amorti- 

 sação para que, n'uma dada época, a associação tivesse satisfeito a uma 

 somma de encargos exactamente egual á que effectivamente teve de sup- 

 portar. 



A determinação doesse valor médio, que designaremos por s, será 

 de uma vantagem immensa para o calculo do estabelecimento de qual- 

 quer montepio de sobrevivência, análogo áquelles cuja estatística tiver- 

 mos observado, por quanto o problema de fixar as condições económi- 

 cas para a admissão de cada sócio, reduzir-se-ha aos seguintes termos : 



Dada a edade de uma admissão, qual deve ser a grandeza da con- 

 tribuição por uma só vez, e annualmente (jóia e quota) para que, no fim 

 da vida media do admittido, se tenha accumulado uma sonrnia tal, que 

 garanta o pagamento de uma certa pensão, cuja duração se suppõe eter- 

 na, e cujo decrescimento annual se suppõe constante, e é conhecido. 



As hypotheses da existência indefinida, e decrescimento constante 

 das pensões, não são, como é claro, senão ficções do calculo, mas que 

 representam com fidelidade as condições económicas da estabilidade da 

 instituição. 



Vejamos pois como se deverá fixar o valor que corresponde a s 

 no fim de um certo numero de annos de existência da sociedade. 



Sejam p^, j).^, p^, etc. as sommas de pensões eífectivamente pagas 

 em cada anno desde o primeiro em que começaram esses encargos; 

 «j, a.^, «3, etc. a correspondente parte de cada uma d'essas sommas, 

 que deixou de ser paga no anno seguinte; serão respectivamente 

 P'i — Pi + ^i> Ps — ^2 + ^2' 6tc. as pensões novas a pagar em cada um 

 dos annos depois do primeiro, e teremos em relação a cada uma das 

 successivas gerências annuaes os elementos do quadro seguinte: 



