180 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Para estabelecer agora a necessária egualdade entre os pagamentos 

 effectivos da primeira columna vertical, e os hypotheticos da ultima, 

 attendendo devidamente á successão das épocas do pagamento, e redu- 

 zindo todas as despezas, por meio do juro composto, a uma época com- 

 mum, para a qual tomaremos o ultimo anno do período considerado 

 — será conveniente suppor que todos os pagamentos de um anno se ef- 

 feituam no meio d'elle. Esta supposição, evidentemente admissível, com 

 approximação bastante, quando se trata de uma pensão, que é satisfeita 

 em todos os mezes do anno, será licita egualmente para as pensões em 

 que se não dá essa circumstancia, por quanto geralmente, as que prin- 

 cipiam, começam pelo pagamento dos últimos mezes do amio, e as que 

 cessam, terminam com o pagamento dos primeiros mezes, acontecendo, 

 para as que começam e terminam no mesmo anno, comprehenderem 

 n'elle alguns dos mezes médios, ou approximarem-se umas vezes do prin- 

 cipio, outras vezes do fim do anno. 



Suppondo pois todas as despezas de cada anno verificadas no meio 

 d'elle, e reduzindo, por meio da taxa do juro r, em relação á unidade 

 (o centésimo da percentagem) todos os pagamentos feitos n'uma serie 

 de n annos ao meio do ultimo d^eiles, a taxa media s deverá satisfazer 

 á equação. 



[P-P. + Ci, -\-p, (1-5)](1 + rf "' + 



[p-p, + a,-\-(p-p,-}-a,)i\-s)+p,{\-sm\-^rf-'-^ 



[p,-p,+a, + (p,^p,+a,){i-s)+Íp,-p,+aX'^+s)^+p,(\-sy]{i+rf~''+ 



PÁ^i-rT~^-{-PÁ^ + '>f~^"-{-pS-\-rf^+ -\-Pn. 



No prímeiro membro reunindo os termos, em que entra o factor 

 /?,, acharemos 



p,[íii-rf-\-(i+iÍ"\\~s)+ii-^rf'\i+sf+ +(.l_sf-^] = 



_ (i+r)"-(i + sr 



