190 JORNAL DE SCIENGIAS MATHEiMATIGAS 



A distancia MD, ou mO, é hypothenusa do triangulo rectângulo 

 Únm, e por isso é 



2 2 2 2 



MD =mO =x' -f y 



Quadrando a equação (1), substituindo os valores de MB e MD e 

 supprimindo os accentos das lettras x e y acha-se 



h^^h í:^"^^ - ^J+i^-'jy-=^^+f m 



Esta equação representa a superfície formada pelos pontos que es- 

 tão a egual distancia das rectas OZ e AB. 



Desenvolvendo as potencias indicadas na equação (2) e reduzindo 

 tem-se 



cot -9 + 1 ' "^ 



Desta equação deduz-se 



22_^2_2cote. -a;— 2S(cot2o+l)?/+S2(cot2ô+l)=o (3) 



Substituindo na precedente equação as expressões 





reconhece-se que para a equação transformada perder os termos do pri- 

 meiro grau em ordem a x' y' z' é preciso que se verifiquem as seguin- 

 tes condições analyticas 



a -fT cot 6 = 

 1-f cot 26 = 

 Y — a cot 9 = 0. 



A segunda d'estas condições jamais pôde verificar-se, mesmo para 

 valores particulares de 9 e por consequência o termo em y' não pôde 

 desapparecer. Esta consideração é sufQciente para provar que a super- 

 fície representada pela equação (3) não tem centro, e como esta equa- 

 ção é do segundo grau segue-se que a superfície é um dos paraboloi- 

 des. Se tivéssemos combinado a primeira e terceira condições, reconhe- 



