PHYSICAS E NATURAES 195 



nusa d'um triangulo rectângulo cuja cathetos são x'p' ou x^pl e xx, : 

 aquella hypolhenusa é pois xp/ e como pela construcção é xpl=xO 

 segue-se que o ponto {x, x') dista d'uma das rectas tanto como da ou- 

 tra. 



Se se tivesse feito o rebatimento de x'p' para a esquerda de x^x' 

 achar-se-liia o ponto x pelo encontro de x^x' com a perpendicular le- 

 vantada ao meio m de Opl'. 



Considerando porém que as perpendiculares levantadas ao meio 

 dos lados d'um triangulo concorrem no mesmo ponto reconhece-se que 

 as rectas mx, nx e x,x' determinam só um ponto x e portanto que o 

 logar geométrico que estamos estudando apenas tem um ponto que se 

 projecte verticalmente em x'. 



Esta proposição mostra-nos que a superfície não tem contorno ap- 

 parente sobre o plano vertical de projecção, isto é, que todos os pon- 

 tos doeste plano são projecções de pontos da superfície. 



Da construcção precedente deduz-se o meio de achar a projecção 

 vertical x' quando se conhece a horisontal x. Basta para isso fazer cen- 

 tro em X e com o raio xO descrever um arco de circulo que irá cortar 

 a recta ab em dois pontos pj' e pj, determinando n'ella os segmentos 

 x,pI ou XipI'. Traçando parallelamente a h'a' e a uma distancia d'esta 

 recta egual a xpj ou xpj' outra recta, é claro que o ponto x' existirá 

 na parallela, e como deve existir em xx^ segue-se que fica determinada 

 a projecção vertical do ponto. 



A superfície também não tem contorno apparente sobre o plano 

 horisontal da projecção. As rectas alx^ e a'y' (fig. 3.^''), que dividem ao 

 meio os ângulos 0'a'p' e 0'dh' formados por as projecção verticaes das 

 rectas dadas são projecções verticaes de duas series de pontos da su- 

 perfície collocados em hnlia recta. Sabe-se que por ser a'x' bissectriz 

 do angulo 0'alp' serão eguaes as perpendiculares x'0' e x'p' e portanto 

 o rebatimento de x'p' pôde fazer-se sobre xfl e a perpendicular levan- 

 tada ao meio de Oa encontra x'Xi no ponto x procurado. 



Qualquer outro ponto de a'x' terá evidentemente a projecção ho- 

 risontal sobre vx, logo a recta indefínida {vx, a'x') tem todos os pon- 

 tos egualmente distantes das rectas (ha, h'a') e (O, 0'0"). 



Semelhantemente se prova que a recta {vy, a'y') existe toda sobre 

 a superfície de que se trata. 



As rectas parallelas ás bissectrizes dos ângulos formados por as 

 projecções verticaes das rectas dadas são projecções verticaes de rectas 

 existentes na superfície. 



Determine-se pelo processo já exposto a projecção horisontal x 



