196 JORNAL DE SCIEx\CIAS MATIIEMATÍCAS 



de um ponto cuja projecção vertical x' se suppõe conhecida, e tire-se 

 por x' (fig. 4.^) a recta x'z' parallela á bissectriz a's do angulo 0'a'z', 

 Qualquer que seja o ponto escolhido sobre x'z' é evidente que a sua 

 distancia á recta a'z' é egual á distancia do mesmo ponto a z'p/, e por- 

 tanto fazendo o rebatimento d'essa distancia sobre ba para a direita da 

 perpendicular á linha de terra conduzida pelo referido ponto achar-se-ha 

 sempre o extremo d'esse rebatimento sobre p/, e por consequência a 

 perpendicular levantada ao meio de Op/ conterá as projecções horison- 

 taes de todos os pontos que se projectam verticalmente em x'z'. 



Ha pois sobre a superfície uma serie infinita de rectas, taes como 

 (xz, x'z'), parallelas ao plano que passa por a's e que é perpendicular 

 ao plano vertical de projecção. 



A recta a't, sendo bissectriz do angulo 0"a'y, ê perpendicular a 

 a!s ou x'z', e portanto deve ser a'n'=n'p". Conduzindo por n' uma 

 perpendicular r LT e, prolongando-a até encontrar em n a recta Op/ é 

 evidente que também será On=np/, e por conseguinte o ponto n deve 

 existir sobre a recta vn que é parallela a LT e passa por o ponto v 

 meio de aO. 



Todas as rectas existentes na superfície e parallelas ao plano que é 

 perpetidicidar ao plano vertical e passa por a bissectriz a's encontram 

 a recta (nv, n'a% que se projecta verticalmente sobre a outra bissectriz. 



De entre as rectas parallelas ao plano a's não ha duas que encon- 

 trem (nv, n'a') no mesmo ponto, nem que sejam parallelas entre si, por- 

 que, sendo parallelas as suas projecções verticaes, as horisontaes hão 

 de concorrer em consequência de serem perpendiculares a linhas, taes 

 como Op/, Oq/, etc, que concorrem no ponto O. 



Semelhantemente se demonstra que ha sobre a superfície uma se- 

 rie de rectas passando por {vn, a's) e tendo projecções verticaes paral- 

 lelas a a't. Estas rectas gosam de propriedades análogas áquellas. 



Suppondo que x'y' é parallela a a't determinar-se-ha o ponto y le- 

 vantando uma perpendicular ao meio de Oq/ e é evidente que, sendo 

 u'x' metade da parte de ?j'x' que fica dentro do angulo a'z'p", será tam- 

 bém q/Xi metade de q/p^ e por consequência a perpendicular ao meio 

 de Oq/ deve passar por o ponto x. Vê-se pois que por cada ponto (x, x') 

 da superfície passam duas rectas respectivamente parallelas aos planos 

 conduzidos por a's e a't perpendicularmente ao plano vertical. 



Reconhece-se egualmente que duas rectas de systemas differentes 

 encontram-se sempre, por isso que as suas projecções verticaes hão de 

 forçosamente concorrer e o seu ponto de encontro é sempre projecção 

 vertical d um ponto da superfície e nunca de dois ou mais. 



