276 JORNAL DE SCIENCIAS MÂTHEMATICAS 



O maior numero de algarismos differentes que pode obter-se no quo- 

 ciente. 



Para determinar precisam.ente o numero de algarismos de cada pe- 

 ríodo, os quaes começam desde a virgula, observaremos que o processo 

 da divisão se traduz pelas equações : 



\OÂ=Bqi-\-ri, 

 iOri=Bq2-\-ri, 

 10r2=Bg3 + r3, 



d'onde 



e em geral 



iOrn~i^=Bqn.-j-rn, 



1 00 i = 1 Bqi + Bq^ -\- n, 

 1000 i = 100 Sgi + \()Bqt-\-Bqz + n, 



2 -5 1=2 .o jBgi + 2 .5 Bq^-^ . . .Bqn-\-rn: 



e representando por MB a parte do segundo membro d'esta equação 

 que é múltipla de B, teremos 



mas é também 

 d'onde 



ou 



, (2-^-5-^-1) (r.-O 



Ora, era B não ha factor algum commum com o numero 2. 5i, 



logo se B divide 2^~ . 5™"" — 1, também dividirá fn — n visto ser in- 

 teiro o segundo membro; o que é absurdo, a menos que não seja rn'=ri , 

 porque Vn e ri são menores que B. E reciprocamente, se for rn=n, 



será B divisor de 2''"* . S''""* — 1=999. . . 



Conclusão : a primeira repetição do mesmo resto na operação da 



divisão terá logar para o menor n que tornar o numero 2"" . 5""" — 1, 

 ou 999. . . divisível por 5; e porque então se tem obtido n algarismos no 



