PHYSICAS E NATUHAES 277 



quociente, segue-se que o numero de casas de cada período será pre- 

 cisamente o numero de algarismos de que constar o menor numero da 

 forma 999. . . que for divisível por B. 



Obs. Como a dizima n'este caso é periódica, fica incidentemente 

 provado o theorema assaz notável, que na serie dos números 9, 99, 

 999, . . . etc. desde um até B — 1 noves, ha necessariamente um que é 

 divisível por B; sendo B primo com 2 e 5: mas este theorema é um 

 caso particular do celebre theorema de Fermat. 



Também se reconhece que os únicos números d'esta forma que 

 sâo divisíveis por B são os compostos d'um numero de algarismos múl- 

 tiplo exacto dos que compõem o menor dos ditos números. 



3 Theor. O quebrado irreductivel -g , cujo denominador B é da for- 

 ma 2 '^ . 5-^ N, equivale a uma dizima mixta em que o numero das ca- 

 sas decimaes anteriores ao primeiro período será o maior dos dois ex- 

 poentes n, p; e o numero de casas de cada periodo será o dos algaris- 

 mos do menor numero da forma 999 . . . que for divisível por N. 



Demonstr. Seja w>p. Depois de obtidos n algarismos no quociente, 

 poder-se-ha representar a divisão pela equação 



2^^5^^_ R 



1 -\ 



d'onde 





O quociente 



2". 5^ 



N.I. 



é inteiro, logo a diíTerença 2".5'^.i — R é divisível por 2^.5^: mas 

 2". 5^ divide 2''.5'*.i, logo também divide í?; e por tanto fazendo 



R=^^-^^R', ter-se-ha, para seguir a divisão, o quebrado -vr, o qual 



pela dita divisão produzirá uma dizima periódica a começar da virgula 

 1 2, e em que o numero das casas de cada periodo é o dos 99 que com- 

 põe o menor numero da forma 999 ... que for divisível por N. 



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