( i3 ) 



Qunm ratio A : B nec major nec minor esse possit ratione a : b ipsi neces- 

 sario erit œqualis. 



Quod ad quantitates mutabiles decrescentes attinet , demonstratio foret omnino 

 eadem , in illa igitur non immorabimur et potins ad novum theorema haud 

 minus momentosum transibimus, antea tameu exempla qua^dam addemus bancce 

 illustrantia propositionem. 



Hic in animo est probare : i°. circulum se babere ad ellipsin uti radius circuli 

 se habet ad axim minorem ellipseos; 2°. sphasram sese babere ad ellipsoïdem iili 

 quadratum radii ad quadratum axeos minons. 



Sit circulo inscriptum poljgonum ANS etc. ^ cujus ex lateribus unumFig.4. 

 repraesentat iV^, si ex utraque lateris hujus extremitate N scilicet et S ducantur 

 ordinatœ NP et SQ ., sicque yW jungatur cum puncto iî, facile videre est poly- 

 gouum circulo inscriptum se babere ad polygonum inscriptum ellipsi , uti radius 

 ad axim minorem , si vel minimum altendatur ad illam circuli et ellipseos pro- 

 prietatem , qua existit proportlo NP : PM= a:b (a désignante radium , b contra 

 minorem axim) et inde PN -]- SQ: PM-}- QR = a:b, ergo trapezium NPQS 

 se habet ad MPQR uti a ad b. Unde patet totum poljgonum inscriptum cir- 

 culo , sese babere ad poljgonum ellipsi inscriptum uti rt : 6 ■ si nunc numerus 

 laterum poljgonorum augetur sive diminuitur seœper eamdem rationem immuta- 

 bilem servabunt poljgona , haec igitur ratio , ratio est ipsorum limitum scilicet 

 circuli et ellipseos. 



Semicirculus circa axem rotando gignet spbaeram , semiellipsis vero ellipsoi- 

 dem, id patet. Solida genita rotatione poljgonorum inscriptorum circa eumdem 

 axim sese babebunt uti a' ad è% hase solida licet crescant licet decrescant co- 

 dera semper se modo babent ad se invicem, scilicet uti a^ : &°, bsec igitur ratio 

 ratio est limitum , id est , spbaerae ad ellipsoidem. 



Facillime demonstraretur adbuc bujus ope theorematis : cjlindros , imo et 

 conos aeque-altos inter se esse uti bases ; quum solida bœc limites sint prismatum 

 vel pyramidum quas ipsis inscribuntur aut circumscribuntur , quumque hœc pris- 

 mata vel pjramides semper eamdem rationem sen-eut , scilicet rationem basium. 

 Prorsus superficies et capacitates eorumdem cum cjlindrorum, tum conorum, 



