8 J. N. NoËl. — De l'Jnalogie en Géométrie. 



III. Réciproquement, si l'on sait que a s'obtient avec b absolument 

 comme c se trouve au moyen de d, n'im[)orte d'ailleurs par quelles 

 opérations, graphiques ou numérique^! , pourvu qu'elles soient respec- 

 tivement les mêmes, dans les deux cas , il s'ensuivra que sia =bn. 

 Il étant un rapport, rationnel ou non, on aura aussi nécessairement 

 c = dn. Carsi l'on pouvait avoir c = f/;>, p étant un nombre différent 

 de n , il est clair, d'a[>rcs la notion du rapport , que c ne s'obtiendrait 

 point avec d absolument comme a avec/* ; contrairement à l'hypothèse. 

 On a doncsimultanémentct :=hn et c=:rf;i; d'où il vient a : b '.; c : d. 



Donc pour établir la proportion entre quatre quantités , nécessai- 

 rement de mêmes natures et parfaitement analogues deux à deux, il 

 suffit de bien constater, d'après les dclinitions et les constructions , que la 

 première grandeur se trouve à l'aide de la seconde absolument comme la 

 troisième au moyen de la quatrième; chose souvent très-facile. 



IV. Telle est essentiellement la méihode analogique. Cette méthode 

 est si simple et si naturelle , elle tient si immédiatement aux premières 

 notions , qu'il faut s'étonner qu'on ne l'ait pas encore appliquée , bien 

 explicitement , en géomélrie. Cependant son emploi y présenterait les 

 avantages de clarté , de facilité et de rigoureuse exactitude ; non-seu- 

 lement pour la proportionnalité des lignes, des surfaces et des volumes, 

 limités de toutes parts ; mais aussi pour leur mesurage et leur construc- 

 tion. C'est ce que nous allons développer, par divers exemples choisis. 



V. Considérons d'abord les deux triangles quelconques ABC et 

 A'B'C et supposons qu'on ait à la fois l'angle A = A' et la propor- 

 tion AB : A'B' :: AC : A'C. Il est clair que le côté AB = AC X n 

 et le côlé A'B' — A'C X " ; de sorte que AB se trouve avec AC ab- 

 solument comme A'B' avec A'C. Mais AB s'obtient par les deux 

 angles A et C, tracés aux extrémités de AC, tandis que A'B' se 

 trouve par les deux angles A' et C, tracés aux extrémités de A'C ; 

 donc puisque l'angle A = A' et que A B se trouve au moyen de AC 

 absolument comme A'B' au moyen de A'C, il faut que l'angle C=C. 

 On verra de même que l'angle B = B'; donc deux triangles qui ont 

 un angle égal compris entre côtés proportionnels , sont équiangles et les 

 angles opposés aux côtés formant un rapport, sont égaux. 



Supposons maintenant l'angle A = A' et l'angle B = B' : les deux 

 angles A et B, qu'il faut tracer aux extrémités de AB, pour avoir 

 AC ou BC, il faut donc aussi les tracer aux extrémités de A'B', pour 

 avoir A 'C ou BC; donc A'C ou R'C se trouve avec A'B' absolument 

 comme A C ou B G se trouve avec AB. Si donc AC = AB X « et 

 ^9 ,— ^^ X /' , on aura aussi nécessairement A'C = A'B' X n et 

 ^'C' = A' B' X p; donc en divisant , il vient 



