Les Proportions. 

 AC: A'C':: AB: A'B':: BC: B'C; 



et de plus, en vertu du cas précédent , l'angle C= C. Ainsi, non- 

 seulement deux triançflessont équiamjles dès qti'ils ont deux angles égaux 

 chacun à chacun; mais de plus , dans deux triangles- équiamjles les côtés 

 opposés aux angles égaux sont proportionnels. Réciproquement, la 

 proportionnalité des côtés de deux triangles entraîne l'égalité des a?iglcs 

 opposés. Car alors AC se trouvant avec A B absolument comme A'C 

 avec A'B', il faut qu'on ait à la fois l'angle A = A' et l'angle B = B'; 

 d'où l'angle C=C'. 



Ces quatre théorèmes suffisent pour établir complètement la théorie 

 des droites proportionnelles ; d'où résultent toutes les relations mimé- 

 riques dans les triangles. Mais l'analogie conduit immédiatement à la 

 propriété de la droite divisant en deux parties égales, soit l'angle du 

 sommet d'un triangle, soit l'angle extérieur supplémentaire. Ces deux 

 bissectrices étant perpendiculaires entre elles , on en déduit les for- 

 mules logarithmiques les plus simples pour résoudre les triangles, et 

 toutes les formules de la trigonométrie lectiligne , d'après le théo- 

 rème , auquel la méthode analogique , elle-même , conduit immédia- 

 tement, savoir: la projection orthogonale de toute droite donnée est le 

 produit de celle-ci par le cosinus numérique de l'angle compris. 



Considérons au nu)ins trois parallèles coupant deux droites quel- 

 conques; soient a, b, c, d,..., les parties de la première droite qui 

 répondent aux parties a\b\ c',d',..., de la seconde : les angles in- 

 ternes-externes sur celle-ci étant égaux, il s'ensuit que a se trouve 

 avec a' absolument comme b avec b', comme c avec c' et comme 

 d avec d' ; donc 



a : a =b : b' z=:c : c' = d : d'.... {i) 



Réciproquement, celle suite étant vérifiée, les sécantes sont parallèles 

 entre elles , en vertu de l'analogie. 



Supposons que la suite (1) subsiste lorsque, les deux droites pro- 

 posées n'étant point parallèles, il y a au moins quatre sécantes non 

 parallèles entre elles , ni deux à deux , et ne se coupant pas en un 

 même point : la première sécante est donc divisée , par les autres, 

 en parties b", c" et d", lesquelles répondent aux parties />, c et d de la 

 première droite proposée. Or, la suite (1) est indépendante de l'angle 

 des deux droites; elle doit donc s'appliquer encore lorsque la seconde 

 vient se placer sur la première sécante. Mais alors il y a une sécante 

 de moins et //, c', d', deviennent respectivement b", c", (/"; donc puis- 

 que les deux systèmes obtenus en supprimant successivement la pre- 



