Les Proportions. 11 



VII. Soit F une aire plane quelconque et F' sa projection sur un plan 

 non parallèle au premier. Imaginons un troisième plan perpendiculaire 

 à leur intersection et coupant F et F' suivant les droites inscrites d etd', 

 dont l'angle est celui a; de F avec F'. Les perpendiculaires au second 

 plan , abaissées des extrémités de d, déterminent rf, tandis que les 

 perpendiculaires à ce second plan , abaissées de tous les points du 

 contour de F , déterminent F' ; il est donc évident que F' se trouve 

 au moyen de F absolument comme d' se trouve au moyen de d, et 

 ainsi F' : F = d' : d = cos x ; d'où F' =F cos x. 



Considérons les deux tétraèdres SABC •= f et S'A'B'C = t', dont 

 S et S' sont les sommets, ABC et A'B'C les bases. Les deux té- 

 traèdres t et t' sont déterminés complètement dès quelesdeuxtrièdres 

 A et A' sont donnés , aussi bien que les arêtes qui les comprennent ; 

 et il en est de même des deux prismes triangulaires p et ;/ , construits 

 sur ces trièdres et leurs arêtes. Or , le prisme p se ti'ouve en menant, 

 par les points B et C , deux droites égales et parallèles à A S ; de 

 même , le prisme p' se trouve en menant, par les deux points B' etC, 

 deux droites égales et parallèles à A' S'. Il est donc évident que p' se 

 trouve au moyen de f absolument comme p se construit avec t. Si 

 donc p=t 71, on aura aussi p' = t' n et par conséquent 



t : r ::p : p'. 



Par cette proportion, ainsi démontrée clairement, simplement et 

 rigoureusement , le rapport des volumes de deux tétraèdres quel- 

 conques est ramené à celui de deux prismes triangulaires. 



La comparaison des aires et des volumes est conséquence du me- 

 surage ; mais il est parfois plus clair et plus direct d'opérer sur les 

 deux termes du rapport. Par exemple , soit S A B C = î le tétraèdre 

 dont S est le sommet et ABC la base; soit p le prisme triangulaire 

 construit sur le trièdre A et ses trois arêtes 5 la seconde base de ce 

 prisme étant SED, soit t' le tétraèdre ADSE : le tétraèdre t étant 

 donné , il en résulte le prisme p en menant AD et CE égales et paral- 

 lèles à BS; de même, (' étant donné, il en résulte le prisme p en 

 menant EC et SB égales et parallèles à D A. Il est donc évident que 

 le prisme /) se trouve avec «'absolument comme avecf; donc sip = 

 t m, on aura aussi nécessairement p = t' m , et ainsi t vaut t'. 



Pour la pyramide quadrangulaireSACDE, dont S est le sommet 

 et le parallélogramme ACDE la base, on verra encore, par la mé- 

 thode analogique , que les deux tétraèdres SADE = «' et SA CE = 

 t" sont équivalents. Or ,p=t-\- 1' -\- 1" ; donc p = Zteii = \ p. 



La méthode analogique étant conséquence immédiate de la pro- 



