Les Proportions. 13 



faut seulement démontrer que si a et b sont divisées en m et n parties 

 égales à x, c et d seront aussi divisées en m et n parties égales à y; 

 chose facile sans doute , mais qui exige souvent des propositions pré- 

 liminaires. 



Telle est la méthode des parties égales , par laquelle la proportion est 

 rigoureusement démontrée ; néanmoins on distingue ordinairement 

 deux cas , savoir celui où les deux quantités a et 6 sont commensn- 

 rables entre elles et celui où elles ne le sont pas. Mais on ne dit point 

 ce qu'on entend par quantités incommensurables entre elles : n'ont-elles 

 point de mesure commune? alors elles n'auront pas non plus de rap- 

 port; puisque , dès que a et 6 ont un rapport , elles ont aussi néces- 

 sairement une mesure commune, du moins infiniment petite, d'un 

 certain ordre inconnu ; et si a et 6 n'ont point de rapport , il n'y a pas 

 à s'en occuper. 



Si en disant que o et 6 sont incommensurables entre elles , on en- 

 tend qu'elles n'ont d'autre mesure commune qu'une grandeur inassi- 

 gnable , on rentre dans le premier cas ; et la réduction à l'absurde , 

 employée pour n'opérer que sur des quantités finies , mises sous les 

 yeux, est absolument inutile. Elle a d'ailleurs l'inconvénient d'être 

 longue et fort obscure , puisqu'on n'a pas défini clairement les quan- 

 tités incommensurables, et que si l'on avait cette définition, qui fait 

 rentrer le second cas dans le premier, il n'y aurait plus rien à dé- 

 montrer. 



En général , le rapport a : b existe nécessairement ; mais il est ex- 

 primable ou inexprimable. De même, les deux quantités a et i ont 

 une mesure commune , assignable ou non , finie ou infiniment pe- 

 tite d'un ordre quelconque. Or, cette mesure commune inassignable, 

 toujours inconnue et indéterminée , toujours moindre que la plus 

 petite partie imaginable de l'unité employée , existe aussi bien que le 

 rapport irrationnel , auquel elle est liée. 



IX. Maintenant pour donner une application remarquable de la 

 méthode des parties égales , cherchons le rapport de deux prismes 

 quelconques P et P' , ayant leurs bases b et b' sur un même plan ; 

 deux arêtes latérales correspondantes a et a' étant sur la même 

 droite. 



Soit R le prisme dont b est la base et a' l'arête latérale sur a ; soit 

 X la mesure commune , assignable ou non , des deux bases b et b' ; 

 on aura donc b = m x et 6' = w x ; d'où b : b' =z m : n. Soit y le 

 prisme dont x est la base et dont les arêtes latérales sont égales et 

 parallèles à l'arête a' , commune aux deux prismes R et P'. Il est clair 

 queRetP' renferment m et »i prismes, tous égaux à y, comme 



