Principe d'Analogie. 17 



exacte et fort remarquable, a été l'objet de plusieurs objections très 

 graves , qui n'auraient pas lieu , nous semble-t-il , si l'on procédait 

 comme il suit : 



Soient ABC et A'B'C deux triangles quelconques: il est d'abord évi- 

 dent que l'angle C se trouve en traçant les deux angles A et B , absolu- 

 ment comme l'angle C s'obtient en traçant les deux angles A' et B' ; et 

 cela quelles que soient les longueurs des côtés AB et A'B'. Si donc l'an- 

 gle A ^ A' et l'angle B= B', il faudra nécessairement que le troisième 

 angle C soit égal au troisième C 



Ensuite l'expression inconnue de l'angle C, au moyen des deux A et 

 B, est indépendante de la longueur A B, puisque la construction subsiste 

 quelle que soit cette longueur ; l'expression de C ne change donc point 

 quand on suppose AB = A' B'. Mais alors les deux triangles A B C et 

 A' B' C peuvent se confondre en un seul , aussi bien que les deux angles 

 C et C ; donc avant de supposer A B :=: A' B' , on avait C =z C. 



V. De là résulte aisément A -|- B -j- C = 2 angles droits , et par suite 

 la théorie des parallèles . Mais cette théorie elle-même laisse beaucoup à 

 désirer, sous le rapport de la clarté et de la simplicité, comme toutes 

 celles fondées sur la définition de l'angle, ordinairement en usage. On 

 peut sans doute appeler angle la quantité plus ou moins grande , dont 

 deux droites qui se coupent sont écartées l'une de l'autre , quant à leur 

 position ; mais cette quantité plus ou moins grande, quelle est-elle, si 

 ce n'est la portion plane inGnie comprise entre les deux droites , elles 

 mêmes infinies? La définition en usage ne nous apprend donc pas clai- 

 rement ce que c'est que l'angle ; et delà vient la difficulté de la théorie 

 des parallèles , basée sur cette définition. 



Si l'on regarde l'angle tel qu'il est en effet : une portion plane infinie, 

 non-seulement la théorie des parallèles sera simple , claire et complète; 

 mais elle devra servir à démontrer les théorèmes fondamentaux , à l'aide 

 de l'analogie et de la méthode infinitésimale , comme étant alors l'ori 

 gine la plus claire de toutes les vérités géométriques. Cette théorie, 

 fondée sur la nature infinie de l'angle, a pour base la proposition que 

 voici et sa réciproque : 



Deux droites finissent toujours par se rencontrer lorsqu'elles font avec 

 ■une même troisième^ deux angles A et B tels que Vexterne A soit plus 

 grand que l'interne B correspondant . 



En effet , dire que l'angle A est plus grand que l'angle B, c'est dire 

 que la portion plane infinie A est plus grande que la portion plane 

 infinie B ; l'angle A ne peut donc pas demeurer contenu dans l'angle B 

 et en doit sortir , tôt ou tard. Or , l'angle A ne peut sortir de l'angle B , 

 ni par la troisième droite, limite commune, ni dans le sens de ïouter- 



