18 J. N. IVoEL. — De Vjnalogie en Géométrie. 



ture , puisque dans ce sens les deux angles vont à l'infini et l'un ne 

 saurait dépasser l'autre ; donc l'angle A ne sort de l'angle B que par les 

 seconds côtés , de directions différentes , lesquels se coupent nécessai- 

 rement. 



Cette démonstration ne doit rien laisser à désirer, si les définitions 

 de la droite, du plan et de ran|]Ie sont bien comprises. 



VI. Voyons maintenant quelques applications du principe d'ana- 

 logie à la théorie du mesurage des grandeurs. Et d'abord soit S l'aire 

 du secteur circulaire, dont r est le rayon, a l'arc et c la corde. Soit T le 

 triangle isocèle , ayant c pour base , le centre pour sommet et h pour 

 hauteur : le pied de /* est donc le milieu de c. Or , l'arc « étant tracé 

 et par suite sa corde c , on trouve le centre, sommet commun à S et 

 àT,en élevant sur c et par son milieu, la perpendiculaire passant 

 aussi par le milieu de «, puis en portant sur elle, 1° à partir de c , la 

 longueur /; pour le triangle ; 2" à partir de a , la longueur r pour le 

 secteur. Il est donc évident que S se trouve avec a et r absolument 

 comme T s'obtient avec c et /*; donc puisque T = j c /«, les unités s 

 et u étant sous-entendues , on a aussi nécessairement S = | a r. 



Cette expression, à laquelle on parvient aussi , avec facilité , en 

 observant que S est la somme d'une infinité de triangles isocèles infi- 

 niment petits , conduit immédiatement à l'aire ît r ' du cercle dont r 

 est le rayon. 



L'aire E de Yellipse est déterminée complètement quand on connaît 

 ses deux derïii-axes a et 6, de longueur et de position; et si h=a, 

 l'aire E devient celle du cercle. Ainsi l'aire E de l'ellipse s'exprime par 

 les mesures de ses demi-axes a et 6 , absolument comme l'aire E' du 

 cercle, par les mesures de ses deux rayons a perpendiculaires. Or, 

 E' = X a a ; donc E = ît a 6. 



D'ailleurs l'aire E étant nulle , soit par a = o , soit par 6 = o , on 

 doit poser E =k ab,k étant un nombre abstrait indépendant de a et 

 de h. Ce nombre ne change donc pas quand on fait * = « ; mais alors 

 l'aire E est celle F du cercle de rayon a et l'on a simultanément E' = 

 ka^ etE'= îra'; d'où k = tt. Donc puisque le nombre k n'a pas 

 changé, il était égal à ît et l'on aE=^ah. 



VIL Les coordonnées étant rectangulaires, soit A l'aire limitée par 

 la courbe 



l'Si b = o, d'où X- 4-2/'= ±a X, l'aire A est la somme de deux 

 cercles , ayant chacun a pour diamètre ; donc A = j7ra\ 

 2° Si a = 0, les deux cercles ont chacun b pour diamètre: d'où A 



