Principe d'Jnahcjie. 19 



3°Si 6 = a, d'où X- -\-y^ =a% il vient A = wo". 

 4" Pour satisfaire à ces trois cas particuliers, il faut nécessairement 

 que la formule , expression de l'aire A cherchée , soit 



On parvient à cette formule remarquable , par la méthode infinité- 

 simale et d'après Yéquation polaire de la courbe proposée ; mais les 

 calculs sont plus compliqués. 



Observons toutefois que le principe d'analogie ou des fonctions ne 

 suffirait pas pour faire découvrir l'expression de l'aire A limitée par 

 la lenmiscate 



Dans ce cas , il faut recourir à l'équation polaire ; et désignant 

 par » l'arc numérique, de rayon -I, tel qu'on aitc^=a^-|-'^^ et c sin a 

 = a , d'où c cos <a = 6 , on trouve , par uue série trigonoméirique , 



A = a, (a^ — b^)-{-ab. 



Cette expression remarquable devient A = a- ou bien A= a^|/ 3 

 — ^7ra^, suivant que i = a ou que 6- •= 3 a-. 



VIII. Tout prisme ou tout cylindre , droit ou oblique , est déter- 

 miné complètement et son volume P peut se construire, dès que sa 

 base b quelconque et sa hauteur /t, menée d'un sommet, sont données 

 de grandeur et de position fixe. De plus , en vertu de la définition gé- 

 nérale , il est évident que P se trouve avec b et h absolument comme 

 le parallélipipède rectangle P' s'obtient avec sa base b' et sa hau- 

 teur II' ; donc puisque P' =^ b' h', on a aussi nécessairement P = i /t ; 

 ce qui signifie que 



P=v{b: s) {h : u). 



De même , si P est le volume d'une pyramide ou d'un cône quel- 

 conque , droit ou oblique , de base b et de hauteur h ; tandis que P' 

 serait l'une des six pyramides régulières et égales qui composent le 

 cube de base b' et de hauteur 2 h\ d'où P' = i b'h' ; on aura, en vertu 

 de l'analogie , 



V = \b h onV = v y^\{h : s){h : u). 



IX. Plus généralement, soit G une grandeur géométrique quelcon- 

 que , aire ou volume ; soit h sa hauteur et h sa base , ligne ou aire 

 plane limitée. Supposons la grandeur G telle qu'en la coupant par des 

 lignes ou des plans parallèles à la base h , cette base et chaque section 

 résultante soient entre elles comme les puisssances m ièmes de leurs 

 distances au sommet , extrémité de A , et cherchons , d'après cette 

 proportion, l'expression de la grandeur G. 



